Matematik
Notation, rækker
Hej,
Hvad betyder (n 2)-parentesen i det følgende?:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg
Tak på forhånd.
Svar #1
31. august 2014 af Drunkmunky
Det er binominalkoefficienten:
Læs mere her:http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient
Svar #2
31. august 2014 af Haxxeren
#1
Tak.
Teorem 3 siger, at den afledte af en række har den samme konvergensradius som den originale række, hvilket også skal vises i eksempel 1. Har du en idé om, hvorfor der skal differentieres 2 gange og hvorfor skal der ganges med z2/2?
Svar #3
31. august 2014 af Drunkmunky
Bemærk, at hvis du differentierer zn to gange får du, at denne afledte er n(n-1)zn-2. Hvis du så ganger med z2/2 får du, at (n(n-1))/2*zn. Det ses, at (n 2) (binomalkoefficienten i eksemplet), er n!/(2!(n-2)!), som bliver n(n-1)/2. Heraf følger det.
Svar #4
31. august 2014 af Haxxeren
#3
Dvs.
f(z) = ∑∞n=2 (n 2) · zn differentieres 2 gange:
f''(z) = ∑∞n=2 (n 2) · n · (n-1) · z(n-2) som ganges med z2/2:
f''(z) = ∑∞n=2 (n 2) · n · (n-1) · zn/2
Skriver du så, at (n 2) = n · (n-1)/2?
Svar #5
31. august 2014 af Drunkmunky
Du har skrevet forkert. Det er ikke hvad der står i eksemplet. Tag udgangspunkt i rækken zn, som er den geometriske række.
Svar #6
31. august 2014 af Haxxeren
#5
Hvad har jeg skrevet forkert?
Edit: Jeg fandt ud af, at (n 2) slet ikke er differentieret.
Svar #7
31. august 2014 af Drunkmunky
Det er ikke den række du skal betragte. Du skal betrage rækken ∑∞n=0zn.
Svar #8
31. august 2014 af Haxxeren
#7
Ok, jeg ved, at rækken zn har konvergensradius R = 1. Følger jeg proceduren i #4, får jeg:
f''(z) = ∑∞n=2 n · (n-1) · zn/2 = (n 2) · zn, ikke? Hvad kan jeg konkludere her?
Svar #9
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det er den geometriske række, der skal differentieres to gange.
g(z) = ∑∞n=0 zn ,
g''(z) = ∑∞n=2 n·(n-1)·zn-2 ,
(n2) = n!/(2!·(n-1)!) = n·(n-1)/2,
så
f(z) = ∑∞n=2 (n2)zn = g''(z)·z2/2
Svar #10
31. august 2014 af Drunkmunky
#8
Du konkluderer at rækken konvergerer og har radius R=1, som følger af sætningen om ledvis differentation.
Svar #11
31. august 2014 af Haxxeren
#10
Hvordan kan du "bare" se, at f''(z) = (n 2) · zn konvergerer og har R = 1?
Svar #12
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#11
Se #9. Da rækken for g''(z) har samme konvergensradius som rækken for g(z), dvs. den harmoniske række, har g''(z) konvergensradius R = 1. Da f(z) = g''(z)·z2/2 , har rækkerne for f(z) og g''(z) samme konvergensradius.
Svar #13
31. august 2014 af Haxxeren
#12
Jeg kigger, og jeg er også med på, at g''(z) har samme konvergensradius som rækken for g(z), men jeg forstår dog ikke, hvordan f(z) kan have samme konvergensradius, når man ganger z2/2 på og som i øvrigt ikke er en konstant men en ny funktion.
Svar #14
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#13
Konvergensradius for rækken ∑∞n=0 anzn bestemmes ud fra forholdet |an+1/an| . For rækken
z2/2 · ∑∞n=0 anzn
er dette forhold jo det samme som for den oprindelige række ∑∞n=0 anzn .
Svar #15
31. august 2014 af Haxxeren
#14
Ok, jeg bliver nok nødt til at proppe værdier ind i formlen for at kunne forstå det:
Vi har: f(z) = ∑∞n=2 (n2)·zn = g''(z)·z2/2 = ∑∞n=2 n·(n-1)·zn/2
Hvis vi skal sammenligne det sidste med rækken ∑∞n=2 anzn, må an = n·(n-1)/2, ikke?
Forholdet |an+1/an| giver så: ((n+1)·n/2) / (n·(n-1)/2) = (n+1) / (n-1). Er jeg helt gal på den?
Svar #18
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#17
Nej. Man forkorter brøken med n, før man lader n gå mod ∞ .
(n+1) / (n-1) = (1 + (1/n)) / (1 - (1/n)) → 1 for n → ∞ .