Matematik

Notation, rækker

31. august 2014 af Haxxeren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Hvad betyder (n 2)-parentesen i det følgende?:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Tak på forhånd.


Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2014 af Drunkmunky

Det er binominalkoefficienten:

Læs mere her:http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient


Svar #2
31. august 2014 af Haxxeren

#1

Tak.

Teorem 3 siger, at den afledte af en række har den samme konvergensradius som den originale række, hvilket også skal vises i eksempel 1. Har du en idé om, hvorfor der skal differentieres 2 gange og hvorfor skal der ganges med z2/2?


Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2014 af Drunkmunky

Bemærk, at hvis du differentierer zn to gange får du, at denne afledte er n(n-1)zn-2. Hvis du så ganger med z2/2 får du, at (n(n-1))/2*zn. Det ses, at (n 2) (binomalkoefficienten i eksemplet), er n!/(2!(n-2)!), som bliver n(n-1)/2. Heraf følger det.


Svar #4
31. august 2014 af Haxxeren

#3

Dvs.

f(z) = ∑n=2 (n 2) · zn differentieres 2 gange:

f''(z) = ∑n=2 (n 2) · n · (n-1) · z(n-2) som ganges med z2/2:

f''(z) = ∑n=2 (n 2) · n · (n-1) · zn/2

Skriver du så, at (n 2) = n · (n-1)/2?


Brugbart svar (0)

Svar #5
31. august 2014 af Drunkmunky

Du har skrevet forkert. Det er ikke hvad der står i eksemplet. Tag udgangspunkt i rækken zn, som er den geometriske række.


Svar #6
31. august 2014 af Haxxeren

#5

Hvad har jeg skrevet forkert?

Edit: Jeg fandt ud af, at (n 2) slet ikke er differentieret.


Brugbart svar (0)

Svar #7
31. august 2014 af Drunkmunky

Det er ikke den række du skal betragte. Du skal betrage rækken ∑n=0zn.


Svar #8
31. august 2014 af Haxxeren

#7

Ok, jeg ved, at rækken zn har konvergensradius R = 1. Følger jeg proceduren i #4, får jeg:

f''(z) = ∑n=2 n · (n-1) · zn/2 = (n 2) · zn, ikke? Hvad kan jeg konkludere her?


Brugbart svar (0)

Svar #9
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#6

Det er den geometriske række, der skal differentieres to gange.

        g(z) = ∑n=0 zn ,

        g''(z) = ∑n=2 n·(n-1)·zn-2 ,

        (n2) = n!/(2!·(n-1)!) = n·(n-1)/2,

        f(z) = ∑n=2 (n2)zn = g''(z)·z2/2


Brugbart svar (0)

Svar #10
31. august 2014 af Drunkmunky

#8
Du konkluderer at rækken konvergerer og har radius R=1, som følger af sætningen om ledvis differentation.


Svar #11
31. august 2014 af Haxxeren

#10

Hvordan kan du "bare" se, at f''(z) = (n 2) · zn konvergerer og har R = 1?


Brugbart svar (0)

Svar #12
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Se #9. Da rækken for g''(z) har samme konvergensradius som rækken for g(z), dvs. den harmoniske række, har g''(z) konvergensradius R = 1. Da f(z) = g''(z)·z2/2 , har rækkerne for f(z) og g''(z) samme konvergensradius.


Svar #13
31. august 2014 af Haxxeren

#12

Jeg kigger, og jeg er også med på, at g''(z) har samme konvergensradius som rækken for g(z), men jeg forstår dog ikke, hvordan f(z) kan have samme konvergensradius, når man ganger z2/2 på og som i øvrigt ikke er en konstant men en ny funktion.


Brugbart svar (0)

Svar #14
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Konvergensradius for rækken ∑n=0 anzn bestemmes ud fra forholdet |an+1/an| . For rækken

      z2/2 · ∑n=0 anzn

er dette forhold jo det samme som for den oprindelige række ∑n=0 anzn .


Svar #15
31. august 2014 af Haxxeren

#14

Ok, jeg bliver nok nødt til at proppe værdier ind i formlen for at kunne forstå det:

Vi har: f(z) = ∑n=2 (n2)·zn = g''(z)·z2/2 = ∑n=2 n·(n-1)·zn/2

Hvis vi skal sammenligne det sidste med rækken ∑n=2 anzn, må an = n·(n-1)/2, ikke?

Forholdet |an+1/an| giver så: ((n+1)·n/2) / (n·(n-1)/2) = (n+1) / (n-1). Er jeg helt gal på den?


Brugbart svar (0)

Svar #16
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#15

Ja, det er korrekt.


Svar #17
31. august 2014 af Haxxeren

#16

Lader jeg n gå mod uendelig til sidst, så får jeg ∞/∞ = 1?


Brugbart svar (0)

Svar #18
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#17

Nej. Man forkorter brøken med n, før man lader n gå mod ∞ .

        (n+1) / (n-1) = (1 + (1/n)) / (1 - (1/n)) → 1 for n → ∞ .


Svar #19
31. august 2014 af Haxxeren

#18

Tak.


Svar #20
31. august 2014 af Haxxeren

Endnu en af dem, hvor man tænker "okay?".

Hvordan kan man se, at det er tilfældet for det område, som jeg har markeret i det følgende?:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg


Forrige 1 2 Næste

Der er 27 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.