Matematik

Differentialligningssystem og egenværdimetode

14. september 2014 af ab19888 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg sidder og har lidt problemer med følgende opgave:

Differentialligningssystemet:

x1´ (t) = - x(t)

x2´ (t) = - x1 (t)

Find samtlige reelle løsninger vha egenværdimetode.

Skal det løses som et inhomogent differentialligningssystem med gættemode. Jeg forstår det virkelig ikke.


Svar #1
15. september 2014 af ab19888 (Slettet)

ingen?


Brugbart svar (0)

Svar #2
15. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man skal løse differentialligningssystemet

        dx/dt = A x

hvor

        \textup{\textbf{A}}=\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\: ,\: \textup{\textbf{x}}=\begin{pmatrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t) \end{pmatrix}

Hvis v er en egenvektor for A hørende til egenværdien λ , gælder der

        dv/dt = λv .


Svar #3
15. september 2014 af ab19888 (Slettet)

Og for egenværdien \lambda = 1 + i fandt jeg egenvektoren til:

 v = \binom{1}{i} = \binom{1}{0} + i\binom{0}{1}

Og så er den fuldstændige reelle løsning hermed:

x(t) = c_{1}e^{t} \binom{cost}{-sint} +c_{2}e^{t} \binom{sint}{cost}


Brugbart svar (0)

Svar #4
15. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Egenværdierne er  λ = ±1 .

Et sæt løsninger er

        x1(t) = et + e-t = 2·cosh(t)  og    x2(t) = -et + e-t = -2·sinh(t) .


Svar #5
15. september 2014 af ab19888 (Slettet)

Jamen hvordan det?


Brugbart svar (0)

Svar #6
15. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#4

Matricen

        \textup{\textbf{A}}=\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

har egenværdierne  λ = 1  og  λ = -1 . Til egenværdien  λ = 1 hører egenvektoren [1 ; -1] og til egenværdien λ = -1 hører egenvektoren [1 ; 1] . Den fuldstændige løsning til differentialligningen er da

        x(t) = c1·et·[1;-1] + c2·e-t·[1;1]

dvs.

        x1(t) = c1·et + c2·e-t

        x2(t) = -c1·et + c2·e-t .


Svar #7
15. september 2014 af ab19888 (Slettet)

Aha, okay jeg er med nu. Tusind tak. 

Hvordan findes så løsningen for hvilken x1(0)= -1, x2(0)= 1

er det på følgende måde:

x1(0) = c1·e0 + c2·e-0 

x2(0) = -c1·e0 + c2·e-0 


Brugbart svar (0)

Svar #8
15. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#7

Ja, de skal så sættes lig med startværdierne.


Skriv et svar til: Differentialligningssystem og egenværdimetode

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.