Matematik
Bevis for vektorer?
Hvordan kan man bevise følgende? :
Lad V betegne et komplekst vektorrum. Lad u, v ∈ V, og antag at vektorerne
w1 :=u+iv, w2 :=u−iv
er lineært uafhængige. Så gælder følgende:
(i) Vektorerne u og v er lineært uafhængige.
(ii) Lad x1,...,xk være vektorer i V og antag at
w1,w2,x1,x2,...,xk
er lineært uafhængige. Så er vektorerne
u,v,x1,x2,...,xk
også lineært uafhængige.
Svar #1
15. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
At vektorerne w1 og w2 er lineært uafhængige betyder, at ligningssystemet
λ1·w1 + λ2·w2 = 0
med λ1 , λ2 ∈ C , kun har den ene løsning λ1 = λ2 = 0 .
(i) Benytter vi definitionen for w1 og w2 har vi da, at ligningssystemet
λ1·(u + iv) + λ2·(u - iv) = 0
kun har den trivielle løsning λ1 = λ2 = 0 , dvs
(λ1+λ2)·u + i·(λ1-λ2)·v = 0
kun har den trivielle løsning λ1 = λ2 = 0. Dette medf8rer, at ligningssystemet
k1·u + k2·v = 0
kun har løsningen k1 = λ1+λ2 = 0 og k2 = i·(λ1-λ2) = 0 , dvs. at vektorerne u og v er lineært uafhængige.
Afdeling (ii) burde ikke volde yderligere problemer.
Skriv et svar til: Bevis for vektorer?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.