Matematik

Partielle afledede og minimumspunkt af funktion f af to variable

16. september 2014 af RobertRobertsen (Slettet) - Niveau: A-niveau

(Se vedhæftet fil)

Jeg er lidt lost, så hvis der var én der kunne pege mig i den rigtige retning ville det være fedt. :)

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. september 2014 af mathon

                 f(x,y)=4x^2-3x+2xy+3y^2-2y+2

                  \frac{\partial f}{\partial x}=8x-3+2y

                  \frac{\partial f}{\partial y}=2x+6y-2


Svar #2
16. september 2014 af RobertRobertsen (Slettet)

#1

                 f(x,y)=4x^2-3x+2xy+3y^2-2y+2

                  \frac{\partial f}{\partial x}=8x-3+2y

                  \frac{\partial f}{\partial y}=2x+6y-2

Lidt forklaring? tak. :)


Brugbart svar (0)

Svar #3
16. september 2014 af mathon

når der afledes med hensyn til x holdes y konstant og differentieres som en konstant

når der afledes med hensyn til y holdes x konstant og differentieres som en konstant


Brugbart svar (0)

Svar #4
16. september 2014 af mathon

hvoraf
             f(x,y)=4x^2-3x+\left (2y \right )x+\left (3y^2 \right )-\left (2y \right )+2

             \frac{\partial f}{\partial x}=8x-3+2y+0-0+0

            

.
             f(x,y)=\left (4x^2 \right )-\left (3x \right )+\left (2x \right )y+3y^2 -2y +2

             \frac{\partial f}{\partial y}=0-0+2x+6y-2

            


Svar #5
16. september 2014 af RobertRobertsen (Slettet)

#4

hvoraf
             f(x,y)=4x^2-3x+\left (2y \right )x+\left (3y^2 \right )-\left (2y \right )+2

             \frac{\partial f}{\partial x}=8x-3+2y+0-0+0

            

.
             f(x,y)=\left (4x^2 \right )-\left (3x \right )+\left (2x \right )y+3y^2 -2y +2

             \frac{\partial f}{\partial y}=0-0+2x+6y-2

            

Ah, tak. Men hvad så med minimumspunktet? :)


Brugbart svar (0)

Svar #6
17. september 2014 af mathon

I det følgende noteres
                                         \frac{\partial f}{\partial x}   som   f_x

                                         \frac{\partial f}{\partial y}   som   f_y

  og
                                         \frac{\partial ^2f}{\partial x^2}   som   f_{xx}

                                         \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}   som   f_{yy}

                                          \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial x} }{\partial y}=f_{xy}=\frac{\partial \frac{\partial f}{\partial y} }{\partial x}=f_{yx}

   Ekstremama for f(x,y) kan kun forekomme,
   i
             1)  grænsepunkter i definitionsmængden for f(x,y)
             2)  indre punkter hvor fx = fy = 0 eller hvor fx eller fy ikke er defineret (de kritiske punkter for f)

   Hvis f og dens første og anden del-afledede er kontinuerte funktioner i en åben skive indeholden (a,b),
   og hvis fx(a,b) = fy(a,b) = 0, så

             1)  fxx < 0  og  fxxfyy - fxy2 > 0 i (a,b) ⇒ lokalt maksimum
             2)  fxx > 0  og  fxxfyy - fxy2 > 0 i (a,b) ⇒ lokalt minimum
             3)  fxxfyy - fxy2 < 0 i (a,b) ⇒ saddelpunkt
             4)  fxxfyy - fxy2 = 0 i (a,b) ⇒ intet kan konkluderes


Brugbart svar (0)

Svar #7
17. september 2014 af mathon

for
          f(x,y)=4x^2-3x+2xy+3y^2-2y+2
er
          f_x=f_y = 0   \; i\; \left ( \tfrac{7}{22};\tfrac{5}{22} \right )
          f_{xx}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=0
          f_{xx}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=f_{yy}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=0
          f_{xy}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=2> 0

        
            


Brugbart svar (0)

Svar #8
17. september 2014 af mathon

rettelse
                f_{xx}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=8
                f_{yy}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=6
                f_{xy}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})=2
                f_{xx}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})\cdot f_{yy}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22})-\left (f_{xy}(\tfrac{7}{22},\tfrac{5}{22}) \right )^2=44>0

ifølge
             2)  fxx > 0  og  fxxfyy - fxy2 > 0 i (a,b) ⇒ lokalt minimum
                  er der således minimum i ((7/22);(5/22)).


Skriv et svar til: Partielle afledede og minimumspunkt af funktion f af to variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.