Matematik

Volumen

17. september 2014 af Banff (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej :-)

Jeg kan ikke finde ud af at beregne volumen af et omdrejningslegme der skal drejes 360 grader rundt om y=4.

Se vedhæftet PDF-fil

Facitlistens resultat: V=108pi/5

Vedhæftet fil: Volumen.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. september 2014 af mathon

Du må da have nogle integrationsgrænser

$V_x=\pi \cdot \int_{a}^{b}\left (f(x)-4 \right )^2dx$

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. september 2014 af peter lind

Dan en lodret cirkelskive med centrum i linjen y= 4 og radius længden fra linjen til kurven

Du kan også forskyde x aksen nedad så linjen y=4 bliver x aksen

V = π∫_-2²(x²-4)² dx

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. september 2014 af mathon

$V_{x}=\pi \cdot \int_{-1}^{2}\left ( x^2-4 \right )^2dx-\pi \cdot \int_{-1}^{2}\left ( x+2-4 \right )^2dx=$

$\pi \cdot \int_{-1}^{2}\left (x^4-8x^2+16 \right )dx-\pi \cdot \int_{-1}^{2}\left (x^2-4x+4 \right )dx=$

$\pi \cdot \left [ \frac{1}{3}\cdot x^3-\frac{8}{3}\cdot x^3+16\cdot x \right ]_{-1}^{2}-\pi \cdot \left [\frac{1}{3}\cdot x^3-2\cdot x^2+4\cdot x \right ]_{-1}^{2}$

$\pi \left ( \frac{1}{5}\cdot 2^5-\frac{8}{3}\cdot 2^3+16\cdot 2-\left ( \frac{1}{5}\cdot \left (-1 \right )^5-\frac{8}{3}\cdot \left (-1 \right )^3+16\cdot \left (-1 \right ) \right ) \right )-$

$\pi \cdot \left ( \frac{1}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2^2+4\cdot 2 -\left ( \frac{1}{3}\cdot \left (-1 \right )^3-2\cdot \left (-1 \right )^2+4\cdot \left (-1 \right ) \right) \right ) \right )$

Svar #4
17. september 2014 af Banff (Slettet)

#1 grænserne for y=x+2 og y=x^2 er x=-1 og y=1 eller x=2 og y=4

# 2 Jeg kommer ikke frem til det rigtige facit hvis jeg bruger grænserne x=-1 og x=2

Svar #5
17. september 2014 af Banff (Slettet)

# 4

Tak :-) Kan du give en forklaring på hvad det er der sker i første linje Vx=

så jeg for lidt foratåelse med !

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. september 2014 af peter lind

Du skal bruge grænserne -2 og 2

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. september 2014 af mathon

$\pi \left ( \frac{1}{5}\cdot 2^5-\frac{8}{3}\cdot 2^3+16\cdot 2-\left ( \frac{1}{5}\cdot \left (-1 \right )^5-\frac{8}{3}\cdot \left (-1 \right )^3+16\cdot \left (-1 \right ) \right ) \right )=$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pi \left ( \frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32 +\frac{1}{5}-\frac{8}{3}+16\right )=\left \pi \cdot (48+\frac{33}{5}-\frac{72}{3} \right )=48+\frac{99-216}{15}=\pi \cdot \left (48-\frac{117}{15} \right )=$

$48-\frac{39}{5}$

$\pi \cdot \left ( \frac{1}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2^2+4\cdot 2 -\left ( \frac{1}{3}\cdot \left (-1 \right )^3-2\cdot \left (-1 \right )^2+4\cdot \left (-1 \right ) \right) \right ) \right )=$

$\pi \cdot \left ( \frac{8}{3}-8+8+\frac{1}{3}+2+4 \right )=\pi \cdot \left ( 6+3 \right )=9\pi$

hvoraf

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. september 2014 af mathon

rettelse

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pi \left ( \frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32 +\frac{1}{5}-\frac{8}{3}+16\right )=\left \pi \cdot (48+\frac{33}{5}-\frac{72}{3} \right )=48+\frac{99-360}{15}=\pi \cdot \left (48-\frac{87}{5} \right )=$

$\frac{153}{5}\pi$

hvoraf
$\frac{153}{5}\pi-9\pi =\frac{153-45}{5}\pi ={\color{Red} \frac{108}{5}\pi }$

       x-grænserne for området mellem de to grafer
       findes af
                         x+2 = x²

x² - x - 2 = 0

$x=\left\{\begin{matrix} -1\\2 \end{matrix}\right.$

Svar #9
17. september 2014 af Banff (Slettet)

Beklager at jeg ikke har udtrykt mig præcist nok.

Det jeg er i tvivl om er hvad der er radius øvre og nedre grænse, og i øverste linje i #3 Vx = subtrahere du de to integraler fra hinanden, dem ville jeg gerne summerer, så jeg mangler lidt "figur" forståelse :-)

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. september 2014 af Soeffi

Undskyld, forkert tegning vent lidt

Vedhæftet fil:rumfangyx2.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er måske lettere at se, hvad der foregår, hvis man parallelforskyder de to funktioner i y-aksens retning stykket -4 og derefter spejler graferne i x-aksen. Et legeme kongruent med omdrejningslegemet i opgaven fremkommer derefter ved at dreje omkring x-aksen, og man skal dreje grafen for funktionen

$g(x)=\left\{\begin{matrix}4-x^{2}\, ,\, \textup{for}\: -2\leq x\leq -1 \\ \left 2-x\, , \: \textup{for} \: -1\leq x\leq 2 \end{matrix}\right.$

Rumfanget af omdrejningslegemet er da

$V_{x}=\pi \cdot \int_{-2}^{-1}(4-x^{2})^{2}\, \textup{d}x+\pi \cdot \int_{-1}^{2}(2-x)^{2}\, \textup{d}x\newline\newline =\pi\cdot\int_{-2}^{-1} (2+x )^{2}(2-x)^{2}\, \textup{d}x+\pi \cdot \int_{-1}^{2}(2-x)^{2}\, \textup{d}x\newline\newline =\pi \cdot \int_{0}^{1} u^{2} (4-u)^{2} \, \textup{d}u + \pi \cdot \int_{-3}^{0}u^{2}\, \textup{d}u \newline\newline =\pi \cdot \left [\frac{u^{5}}{5} -\frac{8u^{4}}{4}+\frac{16u^{3}}{3} \right ]_{0}^{1}+\pi \cdot \left [ \frac{u^{3}}{3} \right ]_{-3}^{0} \newline\newline =\pi \cdot \left (\frac{1}{5} -2+\frac{16}{3} +\frac{27}{3}\right )\newline\newline =\frac{188}{15}\cdot \pi$

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. september 2014 af Soeffi

Vedlagt: skitse for udledning af formlen for rumfanget ved drejning af y=x+2.

Når linjen drejes om en vandret akse fremkommer to kegler med fælles toppunkt. De to kegler kan skæres i skiver som vist, rumfanget af hver skive er grundflade gange højde = π ·radius²·dx = π·(f(x)-4)²·dx.

Disse skiver skal summeres mellem x=a og x=b, hvorved man får:

$Rumfang=\pi\int_{a}^{b}(x+2-4)^{2}dx =\pi\int_{a}^{b}(x-2)^{2}dx=\pi\int_{a-2}^{b-2}x^{2}dx$

Vedhæftet fil:skitse_til_udledning_af_formel.jpg

Skriv et svar til: Volumen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.