Matematik

Differentialligning

19. september 2014 af bocawas (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan løser jeg følgende opgaver? 

a)

\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}

Er f(x)=\frac{2x}{x+1} en løsning?

b)

 y''=-y-3x

Er f(x)=cos(x)-3x en løsning?


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Indsæt i hver opgave den foreslåede funktion i differentialligningen og undersøg, om venstresiden er lig med højresiden. Hvis det er tilfældet, er f(x) en løsning, ellers ikke.


Svar #2
19. september 2014 af bocawas (Slettet)

Hvordan skal den foreslåede funktion indsættes?


Brugbart svar (0)

Svar #3
19. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#2

I a) er dy/dx = f '(x) og y/(2x) = f(x)/(2x) . Undersøg, om f '(x) er lig med f(x)/(2x) .

        f(x) = 2x / (x+1)


Brugbart svar (0)

Svar #4
19. september 2014 af mathon

                        \frac{1}{y}dy=\frac{1}{2x}dx            integrer på begge sider

                            

                         


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#4

Det er her ikke nødvendigt at løse differentialligningen for at undersøge, om en bestemt funktion er en løsning.


Svar #6
19. september 2014 af bocawas (Slettet)

Hvad mener du med y/(2x) = f(x)/(2x)?


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#6

Højresiden i differentialligningen er y/(2x) . Her står y for en funktion y(x) , der tilfredsstiller differentialligningen. Når man undersøger, om f(x) er en løsning, er dette led derfor

        f(x)/(2x) = (2x/(x+1))/(2x) = 1/(x+1) .


Brugbart svar (0)

Svar #8
19. september 2014 af mathon

             \int \frac{1}{y}dy=\int \frac{1}{2x}dx\; \; \; \; \; x> 0

              \int \frac{1}{y}dy=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{1}{x}dx

              \ln\left ( \left | y \right | \right )=\frac{1}{2}\cdot \ln(\left | x \right |)+k=\ln(x^{\frac{1}{2}})+k

              y=C\cdot \sqrt{x}

                          


Svar #9
19. september 2014 af bocawas (Slettet)

Så opgave b er ikke en løsning?


Brugbart svar (0)

Svar #10
19. september 2014 af mathon

b)
           y''=-y-3x

Det undersøges, om

         f(x)=y=\cos(x)-3x

..............

          y{\, }'=-\sin(x)-3

         y{\, }''=-\left (\cos(x) \right )=-\left ( y+3x \right )=-y-3x      

Konklusion?   

         


Svar #11
19. september 2014 af bocawas (Slettet)

Kan godt se at opgave b) er en løsning. Men det var mere opgave a) jeg skulle have hjælp til, det var en fejl sorry.


Brugbart svar (0)

Svar #12
19. september 2014 af mathon

a)
        Løsningerne er
                                                f(x)= C\cdot \sqrt{x}
        hvilket
                                                f(x)= \frac{2x}{x+1}      ikke opfylder.


Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.