Bevis, at ligningen ,,, Hjælp

Du bliver nok nødt til at fortælle lidt om funktionen f(x) .

beklager,,, f(x) = (1/x) - (cos(x)/sin(x))

Vis, at f(x) → 0⁺ for x → 0⁺ og at f '(x) > 0 for alle x ∈ ]0;π[ .

Funktionen f(x) er kontinuert i intervallet ]π;2π[ . Vis igen, at f '(x) > 0 for alle x ∈ ]π;2π[ og find x₁ og x₂ i dette interval med   f(x₁) < 0 og f(x₂) > 0 .

Denne opgave består af 3 spørgsmål:
a) at vise lim_x->0⁺  osv. Det har jeg gjort.

b) At vise, at f er strengt voksende i hvert interval (nπ,(n + 1)π). Det har jeg også gjort

så nu er bare kun d) som er nævnt overfor

#4

Af a) og b) følger så, at ligningen f(x) = 0 ikke har nogen løsning i ]0;π[ .

Læs så det sidste afsnit i #3 igen. Hvis funktionen f(x) er kontinuert i ]a;b[ , og der findes x₁, og x₂ i intervallet med x₁ < x₂ og f(x₁) < 0 og f(x₂) > 0 , så findes der et x₀ i ]x₁;x₂[ så at f(x₀) = 0 . At der ikke findes mere end denne ene værdi x₀ , hvor f(x₀) = 0 , følger af, at f(x) er strengt monotont voksende i intervallet.

For f(x) = 0 i intervallet ]0; Pi[ findes der ingen løsninger i følge Maple.
Maple giver kun en løsning i intervallet [Pi: 2Pi[
Men hvordan bevises det at f(x)= 0 har ingen løsning i intervallet ]0;Pi[ ??
 

#6

Genlæs #5. Det følger af, at f(x) → 0⁺ for x → 0⁺ og at f '(x) > 0 for alle x ∈ ]0;π[ .

Antag, at der findes et x₀ i ]0;π[ så at f(x₀) = 0 . Da f(x) → 0⁺ for x → 0⁺ , findes der et x₁ i ]0;x₀[ , så at f(x₁) > 0 . Men det er så i modstrid med at f(x) er strengt monotont voksende i ] 0;π[ .

Hvordan kan det være rigtigt når x-->0  og f(x)-->0 og samtidig  findes der en x₁ og f(x₁)>0.?

#8

At f(x) → 0⁺ for x → 0⁺ betyder, at for ethvert ε > findes der et δ > 0 , så at hvis 0 < x < δ er 0 < f(x) < ε . f(x) er altså positiv i passende åbne intervaller tæt ved 0. Hvis der er et positivt x₀ i ]0;π[ , hvor f(x₀) = 0, er det i modstrid med at f(x) er strengt monotont voksende.