Matematik

Integration ved substitution

20. september 2014 af Gandhara (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg kan simpelthen ikke finde det bestemme følgende bestemte integrale:

\int_{-2}^{2} \frac{x+6}{\sqrt{x+2}} dx

Opgaven understreger følgende u:

u=\sqrt{x+2}

Mine egne beregninger fører ud til meget komplicerede udtryk. Min lære har vedhæftet sin egen løsning, som jeg desværre ikke forstår. Der kunne godt have været flere mellemregninger (se vedhæftet fil).

Hvordan kan det være at han sætter den nedre integrand (-2) lig med 0? Og hvordan kan opgaven løses hvis man regner substituerer dx? dvs. dx=du/..., og sætte dette udtryk ind i integralet.

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2014 af mathon

                     \int_{-2}^{2} \frac{x+6}{\sqrt{x+2}} dx

                                    u=\sqrt{x+2}        2du=\frac{1}{\sqrt{x+2}}         {\color{Blue} \mathbf{x+6=u^2+4}}

                     \int_{-2}^{2} \frac{x+6}{\sqrt{x+2}} dx=\int_{-2}^{2}\left ( x+6 \right )\cdot \frac{1}{\sqrt{x+2}}dx=

                     \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2\cdot \int_{{\color{Red} \mathbf0}}^{{\color{Red} \mathbf2}}\left ( u^2+4 \right )du=2\cdot \left [ \frac{1}{3}u^3+4u \right ]_{0}^{2}=2\cdot \left (\frac{1}{3}\cdot 2^3+4\cdot 2 -\left ( \frac{1}{3}\cdot 0^3+4\cdot 0 \right ) \right )=2\cdot \left ( \frac{8}{3}+8 \right )

                  \int_{-2}^{2} \frac{x+6}{\sqrt{x+2}} dx=\frac{64}{3}={\color{Red} \mathbf{21\tfrac{1}{3}}}


Svar #2
20. september 2014 af Gandhara (Slettet)

Jeg forstår hvordan du kommer frem til 2du, men alt efter det....

Hvordan ville fremgangsmåden se ud, hvis man nu isolerede dx istedet for du?


Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2014 af Soeffi

Den kan også løses:

\int_{-2}^{2}\frac{x+6}{\sqrt{x+2}}dx =\int_{-2}^{2}\frac{x+2}{\sqrt{x+2}}dx +\int_{-2}^{2}\frac{4}{\sqrt{x+2}}dx =\int_{-2}^{2}\sqrt{x+2}dx +4 \int_{-2}^{2}\frac{1}{\sqrt{x+2}}dx =

\int_{0}^{4}\sqrt{x}dx +4\int_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\left [ \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} \right ]_{0}^{4}+4\left [ \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1} \right ]_{0}^{4}=

\frac{2}{3}\left [x^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{4}+4\cdot 2\cdot \left [x^{\frac{1}{2}} \right ]_{0}^{4}=\frac{2}{3}\left [4^{\frac{3}{2}}-0 \right ]+4\cdot 2\cdot \left [4^{\frac{1}{2}}-0 \right ]=\frac{2}{3}\cdot 8+4\cdot 2\cdot 2=21\frac{1}{3}

Her i indgår den skjulte substitution u=x+2.


Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.