Matematik

Bestemmelse af f(x):

20. september 2014 af Niko83 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej til Alle derude.
Jeg er i gang med denne opgave knap 3 time, og kan ikke komme videre.
Vil nogen derude hjælpe med spørgsmår b) med at finde en funktion f(x), som giver
antallet af biler, der passerer et givet punkt i løbet af en time.

Opgaven:
En bil kører med hastigheden x (km/time). Bremselængden for en bil er proportional med x²,
og vi antager, at en bil, som kører med hastigheden 30 km/time, har en bremselængde på 6 m.

Antag endvidere, at reaktionstiden for bilisten er 1 sekund.
Der går altså 1 sekund fra en forhindring opdages, til bremsningen på begyndes.

# a) Gør rede for, at standselængden (målt i m) for en bil med hastigheden
x med tilnærmelse er givet ved udtrykket (1/150) * x²+ (5/18)*x : #

b) Under forudsætning af, at ovenstående antagelse holder, og at alle
biler kører med hastigheden x,
skal du finde en funktion f(x), som giver
antallet af biler, der passerer et givet punkt i løbet af en time:

Håber, at nogen vil hjælpe med sprøgsmål b)

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2014 af Soeffi

Jeg gætter på, at det der menes er:

Man antager, at bilerne kører i en lang række, hvor afstanden mellem dem er bremselængden. Antal biler, som passerer pr. tidsenhed er proportional med hastighed divideret med afstand mellem biler.

Svar #2
20. september 2014 af Niko83 (Slettet)

mener du, at jeg skal opstille følgende ligning: 6 = k * (50/4) hvor k er en konstant på 0.48

of f(x) = 0.48 *x ??

Svar #3
20. september 2014 af Niko83 (Slettet)

og fuktionen bliver f(x) 0.48 * x ???

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. september 2014 af Soeffi

Jeg forestiller mig

$f(x)=\frac{k\cdot x}{ax^{2} + bx +c}, (ax^{2} + bx +c>0;x\geq 0)$

Af dette udtryk fås (differentier og sæt tæller lig nul)

$f'(x)=0\Rightarrow -ax^{2}+c =0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{c}{a}}$

Problemet er, at der mangler oplysninger som f.eks. bilernes længde.

Svar #5
20. september 2014 af Niko83 (Slettet)

Der skulle være også.

Vi antager nu, at en gennemsnitsbil har længden 4 m. Hvis bilerne
kører med hastigheden x, og afstanden mellem bilerne skal være lig
med standselængden, fylder hver bil altså (1/150) *x² +(5/8) * x +4 meter på
vejen.

Svar #6
20. september 2014 af Niko83 (Slettet)

Hvad står "k" i ligningen, som du har opstillet ???

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. september 2014 af Soeffi

Hvis længder regnes i m og tid i sekunder, må man få

$f(x)=\frac{x}{0,0067x^{2}+0,625x +4}$

Hvis jeg har regnet rigtigt, har man

$x_{max}=\sqrt{\frac{4}{0,0067}}=24,5m/s$

Svar #8
20. september 2014 af Niko83 (Slettet)

Jeg er fovirret over over denne opgave; Hvis du diferentiere f(x) = a*x² + b*x +c så ville f'(x)= 2ax +b, men dine beregning viser, at f'(x)= 2ax +c.

Du får en funktion f(x) = x/ (a*x² +b*x+c) som giver
antallet af biler, der passerer et givet punkt i løbet af en time.

Hvis du læser denne link opgave 3.3.iv, så vil se lidt bedre.

https://files.itslearning.com/data/ku/c57192/afleveringsopgaver/opgave3.pdf?
Men hvordan opstiller du funktionen som giver antallet af biler, der passerer et givet punkt i løbet af en time
"f(x)= x/(a*x² +b*x+c) .
Selv om at jeg er ikke i stand at forstå opgaven, synes jeg, at det er mega rart, at du prøver at hjælpe.
Hvis du har lyst, prøv en gang til at forklare igen.

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. september 2014 af Soeffi

I udledning af formlen ser jeg først på et regneeksempel. Hvis biler kører med en indbyrdes afstand af 10m og med en hastighed af 10m/s vil der passere 1 bil pr. sek. Fordobles hasigheden eller halveres afstanden vil antallet af biler, der passerer pr. sek. fordobles. Der må derfor gælde sammenhængen: Antal biler, der passerer pr. sek. er proportional med hastighed af biler og omvendt proportional med afstanden mellem dem. Dvs. f(x) ~ hastighed/afstand (størrelsen af k afhænger af enhederne). Desuden gælder, at når bilerne holder stille, er der ingen der passerer, dvs. f(0) = 0.

Man får udtrykket

$f(x)=\frac{kx}{ax^{2}+bx+c}$

og den afledede

$f'(x)=\frac{k(ax^{2}+bx+c)-kx(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}=\frac{k(-ax^{2}+c)}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}$

maximum findes ved

$f'(x)=0\Rightarrow k(-ax^{2}+c)=0\Rightarrow -ax^{2}+c=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{c}{a}}$

I eksemplet er k=1 (enheder er ens i tæller og nævner) a=0,0067 s²/m, b=0,28 s (undskyld: 5/18 ikke 5/8) og c=4m (enheden i nævneren skal være meter, når konstanter er ganget med x og x²). Man får

$f(x)=\frac{x}{0,0067x^{2}+0,28x+4}, x\geq 0$

$x_{max}=\sqrt{\frac{4}{0,0067}}=24,5m/s=88,2km/t$

Det ville selvfølgeligt være fint, hvis man kunne give en fysisk eller intuitiv fortolkning af resultatet.

Svar #10
21. september 2014 af Niko83 (Slettet)

Hej igen:
For at find det maksimale antal biler, som kan passere et givet punkt
i løbet af en time, skal man regne sådan f(88.2) *3600 ??

Brugbart svar (1)

Svar #11
21. september 2014 af Soeffi

Jeg glemte at nævne, at x er hastigheden angivet i meter pr.sekund. Dvs. det største antal biler, der kan passere pr. sek. er f(24,5m/s).

Svar #12
21. september 2014 af Niko83 (Slettet)

Regnestykket viser, at der passerer ca. 5956 biler et givet punkt
i løbet af en time. Det lyder ikke realistisk eller har jeg regnet forkert

Svar #13
21. september 2014 af Niko83 (Slettet)

mange, mange tak

Skriv et svar til: Bestemmelse af f(x):

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.