Matematik

maks. og min fart ifm. banekurve

20. september 2014 af Rasmuslarsenjylland (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har banekurven: r(t)=3*cos(t)i+2*sin(t)j, t=[0;2pi]

Spørgsmålet lyder: bestem maks og min. fart for partikel, samt hvor de opstår.

Jeg vil mene, at det kan beregnes ved at sætte størrelsen af hastighedsvektoren differentieret lig med 0, men hverken Mathcad eller Maple kan løse dette - eller retter svaret bliver et komplekst tal...

Nogen, som kan hjælpe med, at løse opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2014 af LeonhardEuler

Den dobbeltdifferentierede af r(t) sættes lig med 0

Svar #2
20. september 2014 af Rasmuslarsenjylland (Slettet)

Det er også det jeg gør, men mathcad og Maple vil ikke løse ligningen

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2014 af mathon

Bemærk
hastighed er en vektor og fart er en skalar.

Svar #4
20. september 2014 af Rasmuslarsenjylland (Slettet)

#3: jeg tager også størrelsen af det dobbelt differentierede udtryk - har vedhæftet skærmprint fra Mathcad. Rod bruges til at beregne nulpunkter i Mathcad i et definerede interval.

Vedhæftet fil:Mathcad.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. september 2014 af mathon

$v=\sqrt{5\cdot \sin^2(t)+4}$

$v{\, }'(t)=\frac{1}{2\sqrt{5\cdot \sin^2(t)+4}}\cdot 5\cdot \left (2\cdot \sin(t)\cdot \cos(t) \right )=\frac{2,5\cdot \sin(2t)}{\sqrt{5\cdot \sin^2(t)+4}}$

hvor nævneren er positiv.

Fortegnsvariationen for $v{\, }'(t)$ bestemmes derfor at tælleren

$2,5\cdot \sin(2t)=0$

$\sin(2t)=0$

sign(2t): + 0 -
0-----------π/2----------π

$v{\, }'(t)$ har derfor maksimum i $t=\frac{\pi }{2}$

med
$v_{max}=\sqrt{\left ( -3\cdot \sin\left ( \frac{\pi }{2}\right ) \right )^2+\left ( 2\cdot \cos\left ( \frac{\pi }{2}\right ) \right )^2+0^2}=3$

$v{\, }'(t)$ har derfor minimum i $t=\pi$

    med
              $v_{min}=\sqrt{\left ( -3\cdot \sin\left (\pi \right ) \right )^2+\left ( 2\cdot \cos\left ( \pi \right ) \right )^2+0^2}=2$

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. september 2014 af mathon

detaljer:

$\overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} 3\cos(t)\\2\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix}$

hastigheden
$\overrightarrow{v}(t)=\begin{pmatrix} -3\sin(t)\\2\cos(t) \\ 0 \end{pmatrix}$

farten
$v=\sqrt{\left (-3\sin(t) \right )^2+\left ( 2\cos(t) \right )^2+0 ^2}=\sqrt{9\sin^2(t)+4\cos^2(t)}$

Svar #7
20. september 2014 af Rasmuslarsenjylland (Slettet)

Kan du forklare, hvordan du kommer frem til udtrykket i "ligning 2" (#5)

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. september 2014 af mathon

$v{\, }'(t)=\frac{1}{2\sqrt{5\sin^2(t)+4}}\cdot \left ( 5\sin^2(t)+4 \right ){}'\cdot \left ( \sin{ }'(t) \right )=$

$\frac{1}{2\sqrt{5\sin^2(t)+4}}\cdot \left ( 5\cdot 2\sin(t) \right )\cdot \cos(t)=$

$\frac{ 2,5}{\sqrt{5\sin^2(t)+4}}\cdot 2\sin(t) \cdot \cos(t)=\frac{ 2,5}{\sqrt{5\sin^2(t)+4}}\cdot \sin(2t)$

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. september 2014 af mathon

eller noteret
$u=\sin(t)$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}=\cos(t)$

w=5u^2+4 $\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} u}=10u$

$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} w}\cdot \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{2\sqrt{w}}\cdot 10u\cdot \cos(t)=$

$\frac{1}{2\sqrt{5u^2+4}}\cdot 10\cdot \sin(t)\cdot \cos(t)=\frac{1}{2\sqrt{5\left (\sin(t) \right )^2+4}}\cdot 10\cdot \sin(t)\cdot \cos(t)$

Svar #10
20. september 2014 af Rasmuslarsenjylland (Slettet)

Arh - det giver langt bedre mening nu :)
Mit sidste spørgsmål er, hvordan du kommer fra kvrod((-3*sin(t))^2+(2*cos(t)) til kvrod(5*sin^2(t)+4)

Skriv et svar til: maks. og min fart ifm. banekurve

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.