Matematik

Tips

20. september 2014 af Henik24 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan skal jeg gribe denne opgave an?

Vedhæftet fil: Opgave 5.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man skal løse ligningen

cosh(z) = (e^z + e^-z)/2 = -1

Sæt w = e^z og løs så ligningen

(w + (1/w))/2 = -1

der kan omskrives til en 2.-gradsligning i w .

Svar #2
20. september 2014 af Henik24 (Slettet)

hvad er w?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er forklaret i #1: w = e^z .

Svar #4
20. september 2014 af Henik24 (Slettet)

Ja men det vil stadig være ubekendt?

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Læs forklaringen i #1. Man får så en 2.-gradsligning i w:

w² +2w +1 = 0

som umiddelbart kan faktoriseres og løses.

Svar #6
20. september 2014 af Henik24 (Slettet)

Hmm kan rigtig få den til en andengradsligning

Vedhæftet fil:Opgave 5.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

I ligningen

(w + (1/w))/2 = -1

ganges med 2w på hver side. Derved når man frem til ligningen i #5.

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. september 2014 af LeonhardEuler

w² + 2w + 1 = 0 ⇔ (w + 1)² = 0 ⇔ (e^z + 1)² = 0

Benyt ln(-1) = i•π

Svar #9
20. september 2014 af Henik24 (Slettet)

Hvad med når man har løsningen? har fået den til -1 er man så færdig eller?

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. september 2014 af LeonhardEuler

(e^z + 1)² = 0 ⇔

e^z = -1 ⇔

z = ln(-1) = ln l-1l + i•arg(-1) ⇔

z = i(π + 2π•p) hvor p er et helt tal

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Det er måske nemmere at se det således:

e^z = -1 = e^iπ = e^iπ · e^i·2p = e^{i·π·(1+2p)} , p ∈ Z .

hvoraf det så følger, at

z = i·π·(1+2p) , p ∈ Z

Skriv et svar til: Tips

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.