Matematik
Binom-ligning
Hej
Jeg skal løse ligningen e^z = √3 + i
jeg har løst højresiden til 2*e^(π/6)i
men jeg ved kun hvordan jeg løser z^n fx z^4, men jeg ved ikke helt hvordan man arbejder med e^z?
Svar #1
20. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
Skriv z = x + iy, for x og y er reelle. Så skal der gælde
ez = ex · eiy = 2 · ei·π/6 .
Bestem nu x og y .
Svar #4
20. september 2014 af SolSmil (Slettet)
men skal man iikke skrive det som ln(2)=i((π/6)+p2π) ?
Svar #5
21. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
ln(2) er ikke lig med den højreside. Men det er korrekt, at
ez = ex · eiy = 2 · ei·π/6 = 2 · ei·π/6 · ei·2πp , p ∈ Z ,
så
z = ln(2) + i·((π/6) + 2π·p) , p ∈ Z .
Svar #6
21. september 2014 af SolSmil (Slettet)
#5: Det var det jeg mente, jeg kom til at trykke på lighedstegnet i stedet. Det kan ske :)
Hvis jeg så har (√3 +i - e^z)(e^z-1)=0 så regner man for hver parentes, altså √3+i = e^z hvor jeg for at
z=2 + ((π/6) + p2π)i
den anden er så e^z= 1 hvor jeg har løst den anden løsning til z= i(p2π)
er dette korrekt?
Svar #7
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Ja, man løser så de to ligninger hver for sig. Den samlede løsning er så
(z = ln(2) + i·((π/6) + 2π·p) , p ∈ Z ) ∨ (z = i·p·2π , p ∈ Z )
Svar #8
22. september 2014 af SolSmil (Slettet)
Svar #9
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Så skal man begrænse løsningerne til dem, for hvilke |z| < 3π .
Svar #11
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#10
Man skal så løse ulighederne
|ln(2) + i·((π/6) + 2π·p)| < 3π
og
|i·p·2π| < 3π
hver for sig som uligheder i p ∈ Z . Den sidste ulighed skulle ikke volde problemer.
Svar #12
22. september 2014 af annavr (Slettet)
vil man kunne løse ulighederne uden brug af maple eller lommeregner?
Svar #14
22. september 2014 af fred27 (Slettet)
|z| vil vel ikke blive påvirket af om p ∈ Z?
For mig at se er |z| i den første løsning ln(2) og 1 i den anden løsning.
Svar #16
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
Den første ulighed i #11 kan omskrives til
(ln(2))2 + ((π/6) + 2πp)2 < 9π2
dvs
4π2·p2 + (2/3)·π2·p + (ln(2))2 + (π/6)2 - 9π2 < 0 ,
der er en 2.-gradsulighed i p. Den tilhørende 2.-gradsligning har diskriminanten
d = (4/9)·π4 - 4·4π2·((ln(2))2 + (π/6)2 - 9π2 )
= 4·π2·(π2/9 + 36π2 - π2/9 - 4·(ln(2))2)
= 16·π2·(9π2 - (ln(4))2)
Løsningerne til 2.-gradsligningen er da
p = -(1/12) + (1/(2π))·√(9π2 - (ln(4))2) ≈ 1,40035 ∨ p = -(1/12) - (1/(2π))·√(9π2 - (ln(4))2) ≈ -1,56702
så de mulige heltallige værdier for p er p = -1 ∨ p = 0 ∨ p = 1.
Svar #17
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
Den anden ulighed i #11 omskrives til
4π2·p2 < 9π2 ,
dvs.
p2 < (3/2)2 ,
dvs.
-(3/2) < p < (3/2)
De eneste heltallige løsninger er da p = -1 ∨ p = 0 ∨ p = 1.
Skriv et svar til: Binom-ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.