Matematik

Komplekse tal

21. september 2014 af AlmostDoneO - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg har fået til opgave at bestemme samtlige rødder for Q(z)=z^4+1 på formen a+ib

Jeg har kigget på de andre indlæg om samme spørgsmål men jeg forstår dem ikke rigtigt, jeg har lidt brug for en trin for trin vejledning, hvor der bliver beskrevet hvad der bliver gjort.

på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2014 af peter lind

Du skal løse ligningen z⁴+1 = 0.

Flyt de 1 over på højre side det giver

z⁴ = -1

-1 omskrives på polær form hvilket er e^iπ+2pπ hvor p er et helt tal

Du uddrager den 4 rod ved at dividere eksponenten med 4

Derefter finder du den på rektangulær form ved at bruge

e^iu = cos(u)+isin(u)

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. september 2014 af mathon

hvoraf
                         $z_1=\cos\left ( \frac{\pi }{8} \right )+{\color{Red} \mathbf i}\cdot \sin\left ( \frac{\pi }{8} \right )$
                         $z_2=\cos\left ( \frac{5\pi }{8} \right )+{\color{Red} \mathbf i}\cdot \sin\left ( \frac{5\pi }{8} \right )$
                         $z_3=\cos\left ( \frac{9\pi }{8} \right )+{\color{Red} \mathbf i}\cdot \sin\left ( \frac{9\pi }{8} \right )$
                         $z_4=\cos\left ( \frac{13\pi }{8} \right )+{\color{Red} \mathbf i}\cdot \sin\left ( \frac{13\pi }{8} \right )$

Svar #3
21. september 2014 af AlmostDoneO

Er det så næste skridt efter det peter skrev eller? jeg forstår det ikke helt når de bare bliver skrevet op sådan.

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. september 2014 af peter lind

Det er det sidste skridt i #1

Svar #5
21. september 2014 af AlmostDoneO

i #1 hvordan uddrager man den 4 rod, sætter man √z^4 og √eiπ+2pπ eller? ved godt det er basic math men, er meget lang tid siden jeg har brugt det.

#4 Okay - det giver lidt mere mening

Svar #6
21. september 2014 af AlmostDoneO

Tror jeg har fundet ud af det - tak for hjælpen :)

Svar #7
21. september 2014 af AlmostDoneO

Bare lige for at være sikker, så z_1 i #2 bliver så 0,999977+i0,006854 og det er skrevet på rektangulær form, eller skal det skrives på en anden måde?

Svar #8
21. september 2014 af AlmostDoneO

bare for at være sikker $z=\sqrt[4]{{e^i(\pi+p2\pi )}}=e^i^(^{-\frac{\pi }{4}}^+^p^\frac{\pi }{2}^)=1_{\frac{\pi }{4}+p\frac{\pi }{2}}$ , hvor man tager fra #2 at $z_{1}=cos(\frac{\pi }{8})+i\cdot sin(\frac{\pi }{8})=0,999977+i0,006854$ , som er den rektangulære form?

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. september 2014 af peter lind

Når man kan tale præcist om en kvadratrod er det fordi man har vedtaget, at det er den positive rod til ligningen x² = a. Sådan en konvention eksisterer ikke når man går over til komplekse tal, så du kan ikke skrive den komplekse 4. rod som du har gjort. Der er fire løsninger til ligningen z⁴ +a = 0 med mindre a=0

ellers er det rigtigt

Svar #10
22. september 2014 af AlmostDoneO

Så det er ikke den ene rod jeg har fundet? Jeg har gjort det samme med alle fire dele som mathon har skrevet op.

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. september 2014 af peter lind

Min indvending går på din skrivemåde ikke dit facit. Du bør angive alle mulige løsninger d.v.s. du skal i dette her tilfælde indsætte 0,1, 2 og 3 for p

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.