Matematik
Differentialligning
Hej,
Hvordan kommer jeg videre fra denne differentialligning:
u''/u' = -1/x
hvor u er en funktion af x (den skal bestemmes).
Tak på forhånd.
Svar #1
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
Sæt y = u' . Så har man
y'/y = -1/x
der integreres til
ln(|y|) = -ln(x) + k
y(x) = c/x , x ≠ 0 .
Dette oversættes tilbage til u
u'(x) = c/x
der så kan integreres ved stamfunktionsbestemmelse.
Svar #3
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Ligningen er separeret
∫ (1/y) dy = - ∫ (1/x) dx
Svar #4
22. september 2014 af Haxxeren
#3
Det er rigtigt.
Hvordan omskriver man helt præcist -ln(|x|)?
Er det korrekt at skrive: -ln(|x|) = ln(|x-1|) eller er det: -ln(|x|) = ln(|x|-1)?
Svar #5
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Man benytter, at fortegnsvalget er bygget ind i konstanten c, hvor der kan være forskellig konstant i hvert af områderne x < 0 og x > 0 .
Svar #6
22. september 2014 af Haxxeren
#5
Det forstår jeg ikke.
Så ingen af de omskrivninger i #4 er korrekt? Hvordan arbejder jeg videre med -ln(|x|) så?
Svar #7
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Benyt, at ln(|x|) = ln(x) for x > 0 og ln(|x|) = ln(-x) for x < 0 .
Man kan også løse differentialligningen
y' + (1/x)·y = 0
ved at benytte panserformlen:
y(x) = c/|x| = c'/x .
Svar #8
22. september 2014 af Haxxeren
#7
Hvis jeg benytter panserformlen, der har løsningen:
y = ce-∫a(x)dx med a(x) = 1/x, så får jeg:
y = ce-ln(|x|)
Igen ender jeg med ln(|x|) (med numerisk tegn). Hvordan kommer jeg så videre herfra?
Svar #9
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Så er y = c/|x| som man jo ligeså godt kan skrive y = c/x (se #7).
Svar #10
22. september 2014 af Haxxeren
#9
Det som irriterer mig er -ln(|x|). Kan jeg ikke skrive denne som: ln(|x|-1)?
Så bliver eln(|x|^-1) = 1/|x|
Svar #12
22. september 2014 af Haxxeren
#11
Jep, så får jeg:
y = c/|x|
Skal jeg multiplicere med -1 på begge sider for at fjerne det numeriske tegn?
Svar #13
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#12
Nej, det er der ingen grund til, men læs #5 igen.
Svar #14
22. september 2014 af Haxxeren
#13
Jeg forstår ikke helt formuleringen. Hvordan har du defineret c' i forhold til c i #7?
Svar #16
23. september 2014 af Haxxeren
#15
Jeg er sku ikke helt med.
Vi har: y = u' = c/|x|
Jeg kan slet ikke se, hvordan vi fjerner det numeriske tegn og hvordan vi finder u. Jeg tror, at jeg selv gør det kompliceret end nødvendigt.
Svar #17
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#16
Hvis y = c/|x| , kan vi jo bare skrive det y = c'/x , hvor c' enten er lig med c eller -c . Da funktionen c'/x ikke er defineret for x = 0, kan konstanten være forskellig i de to intervaller x < 0 og x > 0 .
Man finder så u(x) ved at bestemme en stamfunktion til y = c'/x , dvs.
u(x) = c'·ln(|x|) + k .
Svar #18
23. september 2014 af Haxxeren
#17
Kan du vise ved et taleeksempel, at c' er lig c ved f.eks. x = 5 og c' er lig -c ved f.eks. x = -5?
Svar #19
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)
#18
Det følger da af, at |x| = x for x > 0 og |x| = -x for x < 0 .
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.