Sinus og Monotoniforhold

Løs så ligningen   f '(x) = 0 .

#0

Som gange tegn i LaTeX anvendes \cdot for ·  og \cos(x) for cos(x)...
(bare et lille vink, da det ser pænere ud ;) )

#0, #2

Hvis der endelig skal støves af, så anvender man også funktionerne \sin og \cos i LaTeX idet funktionsnavnene for de kendte funktioner (trig. eksponential, logaritme) ikke skal sættes med kursivt, som er forbeholdt variabelnavne. Funktionsnavnene kan hives ned i en speciel menu i formel-editoren.

Så 

   eller  

Er jeg rigtig på den?

#4

Den øverste ligning i #4 er ikke korrekt.

Man skal så løse ligningen

        cos(x+a) = 1/2

dvs.

        x+a = π/3 + p·2π   eller   x+a = 5π/3 + p·2π , hvor p ∈ Z .

Man finder så x ved at subtrahere a fra hvert udtryk.

Det fremgår af det vedlagte, at funktionen f_a(x) er begrænset til intervallet [0;2π] .

Jeg er stået af hvordan man skal gøre det her uden solve.. Hvis du kunne forklare ville det være dejligt!

#7

Se på enhedscirklen. Ligningen

        cos(z) = 1/2

har den fuldstændige løsning

        z = π/3 + p·2π   eller   z = 5π/3 + p·2π , hvor p ∈ Z .

Erstat så z med x+a .

Jeg ser nu, at i det vedlagte er funktionen f_a(x) defineret som

        f_a(x) = x - 2·sin(x) + a , 0 ≤ x ≤ 2π

hvilket er en helt anden funktion end den, der er beskrevet i teksten i #0.

Start med at præcisere, hvilken opgave du har valgt at løse.

Havde ikke engang lagt mærke til den tanke torsk jeg lavede i #0.. Det er selvfølgelig hvad du nævnte i #9 jeg mente.

Med denne information indsætter jeg hvad tidligere fandt som x værdier ind i cos(z)=1/2?

Altså z erstattes nu bare med x?

#10

Ja, det er korrekt. Den fuldstændige løsning til ligningen cos(x) = 1/2 er

        x = π/3 + p·2π   eller   x = 5π/3 + p·2π , hvor p ∈ Z

og med begrænsningen  0 ≤ x ≤ 2π  fås

        x = π/3   eller   x = 5π/3 .

Lav nu en fortegnsundersøgelse for f_a'(x) i intervallet 0 ≤ x ≤ 2π , og oversæt det så til monotoniforhold
for f_a(x) .

Kan ikke rigtig se hvordan man skal oversætte det monotoniforhold.. Forstod ikke monotoni særlig godt dengang vi havde det.

Kunne du gi' et startskub?

#12

Start med at lave en fortegnsundersøgelse for f_a'(x) i intervallet 0 ≤ x ≤ 2π :

f_a'(x)             ?      0                          ?                       0     ?
------------|-----------|--------------------------------------------|------------|---------->
x            0          π/3                                                5π/3         2π

Bestem fortegnet for f_a'(x) i hvert af de tre delintervaller, hvori nulpunkterne opdeler hele intervallet [0;2π] .

Man ved så, at

hvor f_a'(x) < 0 , er funktionen f_a(x) monotont aftagende, og

hvor f_a'(x) > 0 , er funktionen f_a(x) monotont voksende.

Steder for lokalt ekstremum skal søges blandt løsningerne til ligningen f_a'(x) = 0. For at under søge minimum og maksimum for f_a(x), skal man også undersøge funktionen i intervallets endepunkter.

Ahah, tror jeg forstår nu..! Du skal ha' mange tak for hjælpe på den her tid af dagen!