Matematik

Differentier og reducer

23. september 2014 af UK343 - Niveau: A-niveau

Jeg har to spg.

Jeg skal reducer udtrykket (3^5)/(9^2*3^1/2)

Jeg har fået 3^1/2 kan det passe?

Det andet spg. er at jeg skal differentier

f(x) = (e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)

Jeg har brugt reglen (f/g)'(x) og har fået (2*e^-2x)/(e^-x-e^x)^2

Men synes ikke det ser rigtig ud

Brugbart svar (1)

Svar #1
23. september 2014 af Therk

Ja. Det vides endvidere at $3^{1/2} = \sqrt{3}$ .

Regnereglen lyder

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}.$

Du har at

$\begin{align*} g'(x)& = \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}, \\ h'(x)& = \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}, \\ (h(x))^2& = \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)^2,\end{align*}$

så

$f'(x) = \frac{\overbrace{\left( \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x} \right )}^{g'(x)} \overbrace{\left( \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}\right )}^{h(x)} - \overbrace{\left( \mathrm{e}^x- \mathrm{e}^{-x} \right )}^{g(x)} \overbrace{\left( \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x} \right )}^{h'(x)} } {\underbrace{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)^2}_{(h(x))^2}}$

og bemærk så smart at

$\begin{align*} g'(x) &= h(x) &\text{ og derfor}\\ g'(x)h(x) &= (h(x))^2 &\text{ samt}\\ g(x) &= h'(x). \end{align*}$

Med de tre nederste linjer kan du reducere udtrykket kraftigt.

Brugbart svar (1)

Svar #2
23. september 2014 af mathon

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{\left ( e^x+e^{-x} \right )\cdot \left ( e^x+e^{-x} \right )-\left ( e^x-e^{-x} \right )\left ( e^x-e^{-x} \right )}{\left ( e^x+e^{-x} \right )^2}=\frac{\left (e^x+e^{-x} \right )^2-\left (e^x-e^{-x} \right )^2}{\left (e^x+e^{-x} \right )^2}=$

$\frac{\left (e^x+e^{-x}+e^x-e^{-x} \right )\cdot \left (e^x+e^{-x}-e^x+e^{-x} \right )}{\left ( e^x+e^{-x} \right )^2}=\frac{2e^x\cdot 2e^{-x}}{\left ( e^x+e^{-x} \right )^2}=\frac{4}{\left ( e^x+e^{-x} \right )^2}$

Svar #3
23. september 2014 af UK343

Tusind tak for hjælpen. Meget brugbart og forståeligt!

Så jeg har reduceret rigtig, men kan lave 3^1/2 om til kvadraroden af 3?

Brugbart svar (1)

Svar #4
23. september 2014 af Therk

Korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Udregningen i #2 er vist udregningen for f '(x). Man har

$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{(e^{x}-e^{-x})\cdot (e^{x}+e^{-x})}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}$

Alternativt har man

$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x$

så

$f'(x)=\frac{(\sinh x)'\cdot \cosh x-\sinh x\cdot (\cosh x)'}{\cosh^{2}x}\newline\newline =\frac{\cosh^{2}x-\sinh^{2}x}{\cosh^{2}x}=\frac{1}{\cosh^{2}x}=\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}$

Svar #6
23. september 2014 af UK343

Hvad er forskellen, da resultaterne er ens?

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det var for at vise sammenhængen med de hyperbolske funktioner, der kan forenkle beregningerne en smule, og så for at afklare, at resultatet i #2 er for f '(x) .

Svar #8
23. september 2014 af UK343

okay på den måde

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. september 2014 af mathon

$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

$f{\, }'(x)=\frac{\left ( e^x+e^{-x} \right )\cdot \left ( e^x+e^{-x} \right )-\left ( e^x-e^{-x} \right )\left ( e^x-e^{-x} \right )}{\left ( e^x+e^{-x} \right )^2}=\frac{\left (e^x+e^{-x} \right )^2-\left (e^x-e^{-x} \right )^2}{\left (e^x+e^{-x} \right )^2}=$

Skriv et svar til: Differentier og reducer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.