Matematik

Integration

23. september 2014 af Searchmath - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har prøvet at løse integralet ved substitution som har grænserne ----> b= 8 og a=2:

∫(1/(x*ln(x)) dx med

Jeg har sat den ydre funktion f(x)= 1/x og den indre g(x)= ln(x)

Jeg har et problem: Jeg får så ∫ (1/t) dt og når jeg integrere den får jeg selvfølgelig ln(x), men som I kan se er min indre funktion ln(x), så jeg kan ikke rigtigt sætte dem ind i hinanden?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. september 2014 af mathon

u = ln(x) og dermed du = (1/x)dx
hvoraf

$\! \! \! \! \! \int \frac{1}{x\cdot \ln(x)}dx=\int \frac{1}{\ln(x)}\cdot \left (\frac{1}{x}dx \right )=\int \frac{1}{u}\, du=\ln\left \left (| u \right | \right )+k=\ln\left\left ( | \ln(x) \right | \right )+k$

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Lav substitution med t = ln(x) , dt = (1/x) dx . Så er

$\int_{2}^{8}\frac{1}{x\cdot \ln x}\, \textup{d}x=\int_{\ln 2}^{\ln 8} \frac{1}{t}\, \textup{d}t$

Svar #3
23. september 2014 af Searchmath

Det er det jeg har gjort.
Mit problem består, i at jeg ikke ved hvordan jeg går videre.
Når man integrere 1/t får man ln(t) og vores t= ln(x)

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. september 2014 af mathon

$\int_{2}^{8} \frac{1}{x\cdot \ln(x)}dx=\ln\left\left ( | \ln(8) \right | \right )-\ln\left\left ( | \ln(2) \right | \right )=\ln\left( \ln(8 \right \rigkt))-\ln\left\left ( \ln(2) \right )=$

$\ln\left ( {\ln\left ( 2^3 \right )} \right )-\ln\left ( \ln(2) \right )=\ln\left ( \frac{3\ln(2)}{\ln(2)} \right )=\ln(3)$

helt i overensstemmelse med #2

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du kan regne integralet i #2 færdigt. Som det ses, er grænserne ændret ved substitutionen. Man får så videre

= [ ln(t) ]^ln(8)_ln(2) = ln(ln(8)) - ln(ln(2)) = ln( ln(8) / ln(2) ) = ln( ln(2³) / ln(2) ) = ln( 3·ln(2) / ln(2) ) = ln(3)

Skriv et svar til: Integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.