Kompleks funktion, holomofi og konv. radius for taylorrækken.

Funktionen f(z) = (e^z - 1) / (1 + z + z²) har poler i z = -1 ±i·√3 . Du kan jo overveje, hvad afstanden er mellem a og hver af de to poler. Konvergensradius kan ikke være større end den afstand.

Du må kunne bruge relationen

        (1 + z + z²)·f(z) = e^z - 1

som en genvej til at bestemme Taylorrækken for f(z).

a) Taylorrækken eksisterer i hele det område hvor den er holomorf. Brug dette samt svaret i a) til at finde konvergensradius

b) Foretag en taylorrækkeudvikling af tælleren og lad nævneren stå. Opskriv rækkeudviklingen med parametre som a₀, a₁ o.s.v. Ganger du det med nævneren får du en polynomiumsligning, hvor du kan bruge at for at de skal være ens skal koefficienterne være ens altså

z+z²/2!+z³/3! ...(a₀+a₁z+a₂z² +... )(1+z+z²)

#1, #2.

OK. Jeg tænkte på, at da K(a, r)⊂ Ω, hvor K(a, r) er et åbent område for en disk med centrum a og radius r. Det vil sige, at | z - a | < r. Da polerne ligger udenfor denne åbne disk, dvs. det ligger i | z - a | ≤ r. Det kan vi jo sige, at man har | (1/2) - (-1 ±i·√3) | = √(7)/2 som en radius. Eller?

Jeg kan ikke se det som en genvej. Hvis f(z)·g(z) = e^z - 1, hvor g(z) = 1 + z + z² har man

f '(z)g(z) + f(z)g '(z) = e^z                                                              (diff. 1 gange)

f ''(z)g(z) + 2f '(z)g '(z) + f(z)g ''(z) = e^z                                        (diff. 2 gange)

f⁽³⁾(z)g(z) + 3{f⁽²⁾z(z)g '(z) + f '(z)g⁽²⁾(z)} + f(z)g⁽³⁾(z) = e^z           (diff 3. gange)

g⁽ⁿ⁾(z) = 0 for n≥ 3. Hvad så?

#3

Ja, konvergensradius er netop     ρ = |(1/2) - (-1 ±i√3)| = √((3/2)² + 3) = (√21)/2 .

Læs også Peter Linds forklaring i #2 under b) .

Sætter man   f(w) = ∑^∞_n=0 a_nwⁿ   og e^w -1 = ∑^∞_n=0 b_nwⁿ hvor w = z - (1/2) , har man

        (1 + (w+1/2) + (w+1/2)²) · ∑^∞_n=0 a_nwⁿ = ∑^∞_n=0 b_nwⁿ

og man kan da bestemme koefficienterne a_n ved koefficienterne b_n .

#4

Ok. Hvis man ved, at exp(z) = Σ^∞_n=0 zⁿ/n! så er

e^z - 1 = Σ^∞_n=0 zⁿ/n! - 1 = Σ^∞_n=1 zⁿ/n! = Σ^∞_n=1 (w + 1/2)ⁿ/n!. 

Jeg har svært ved at bestemme koefficieterne a_n således at 

(1 + (w + 1/2) + (w + 1/2)²) ·∑^∞_n=0 a_nwⁿ = ∑^∞_n=1 (w + 1/2)ⁿ/n!

Forresten, du skrev e^w - 1. Skulle der ikke så e^{w + 1/2} - 1? Hvis nej, hvorfor så?

#5

Man har vel egentlig, at

       e^z - 1 = e^w+1/2 -1 = (√e)·e^w - 1 = (√e)·Σ^∞_n=0 wⁿ/n! - 1

så

        ((7/4) + 2w + w²) · ∑^∞_n=0 a_nwⁿ = (√e)·Σ^∞_n=0 wⁿ/n! - 1

Heraf får man

        (7/4)·a₀ = (√e) - 1

        (7/4)·a₁ + 2·a₀ = (√e)/1!

        (7/4)·a_n + 2·a_n-1 + a_n-2 = (√e)/n! , n ≥ 2 .

#6

Jeg forstår ærligt ikke hvordan eller hvorfor du har lavet de tre sidste ligninger. Hvis man sætter n = 0, får man  ((7/4) + 2w + w²) ·a₀ = √e

#7

Du skal samle led af samme potens. Produktet ((7/4) + 2w + w²) · ∑^∞_n=0 a_nwⁿ  resulterer i 3 rækker, der potensvis starter ved n = 0 , n = 1, og n = 2. For hver potens i w skal der være overensstemmelse i koefficienterne på hver side. Man har

   ((7/4) + 2w + w²) · ∑^∞_n=0 a_nwⁿ = (7/4)·∑^∞_n=0 a_nwⁿ + 2·∑^∞_n=0 a_nwⁿ⁺¹ + ∑^∞_n=0 a_nwⁿ⁺²

                                                  = (7/4)·∑^∞_n=0 a_nwⁿ + ∑^∞_n=1 2·a_n-1wⁿ + ∑^∞_n=2 a_n-2wⁿ

                                                  = (√e) - 1 + Σ^∞_n=1 (√e)·wⁿ/n! .

Nu skulle du være i stand til at aflæse ligningerne i #6.

Det ovennævnte #4, #6, #8 var for Taylorrækken udviklet fra a = 1/2 .

I det vedlagte spm (b) skal man udvikle Taylorrækken ud fra a = 0. Her har man så

        (1 + z + z²) · ∑^∞_n=0 a_nzⁿ = Σ^∞_n=1 zⁿ/n!

hvoraf man aflæser

        a₀ = 0

        a₁ + a₀ = 1/1! , dvs a₁ = 1

        a_n + a_n-1 + a_n-2 = 1/n! , n ≥ 2 .

Af den sidste formel følger, at

        a₂ = 1/2! - a₁ = -1/2

Man kan så vise rekursionsformlen   a_k = (1-k)/k! + a_k-3 for k ≥ 3 ved induktion efter k.

#8

Jeg er med nu. Man får

a₀ = (4/7)(√e - 1),

a₁ = -(4/7)(2a₀ - √e) =  -(4/49)(√e - 8), og 

a₂ = (4/7)((√e)/2! - (2·a₁ + a₀)) =  (18/343)(√e - 8).

Når man opstiller det generelt, har man a_n = (4/7)((√e/n!) - (2a_n-1 + a_n-2)) for n≥ 2. Nu ved jeg ikke hvordan man opstiller det i en række. Er det så

f(w) = (4/7)[ Σ_n≥0(√e/n!) - Σ_n≥12a_n-1 - Σ_n≥2a_n-2 ]? Det lyder ret absurd.

#10

Nej, man har jo

         f(z) = ∑^∞_n=0 a_n(z - 1/2)ⁿ  

hvor rækkens koefficienter a_n er bestemt ved rekursionsformlerne ovenfor.

#11

Jeg ved ikke hvordan man bestemmer et udtryk for a_n til taylorrækken for f(z), når den indeholder a_n-1 og a_n-2.

#12

Pointen er, at koefficienterne kan beregnes rekursivt som vist i #6.

OK. Mange tak for hjælpen. Nu skal vi vise det ved induktion til opgave b.

Ved k = 3, har vi a₃ = -2/3! + a₀ , og da (#9)

 a_n + a_n-1 + a_n-2 = 1/n! , n ≥ 2, så er a₃ + a₂ + a₁ = a₃ + (-1/2) + 1 = 1/3! ⇒ a₃ = 1/3! - 1/2 = -1/3.

Derved fås a₃ = -2/3! + 0 = -1/3, hvilket passer.

Antag så, at k = 3 er sandt, så er k ≥ 3, dvs. k = n + 1 for n ≥ 2, også sandt. Før jeg fortsætter med at vise det, er det korrekt forklaret?

#14

Ja, du har vist, at udsagnet passer for k = 3. Antag nu, at det er sandt for en værdi af k ≥ 3 , og vis, at så er det også sandt for k+1 .

Antager, at k = 3 er sandt, så kan man af dette også sige, at k + 1 er sandt. Altså er

a_k+1 = (1-(k + 1))/(k + 1)! + a_k-2 = 1/(k + 1)! + 1/k! + a_k-2    for k + 1 ≥ 3      (*) 

Da a_n + a_n-1 + a_n-2 = 1/n! ⇒ a_n-1 = 1/n! - a_n - a_n-1 for n ≥ 2, giver (*)

a_k+1 = 1/(k + 1)! - a_k - a_k-1,

hvilket passer, når man sætter n = k + 1, således at det stemmer overens med

a_n + a_n-1 + a_n-2 = 1/n! ⇒ a_n = 1/n! - a_n-1 - a_n-2.

Korrekt? Tænker på, hvad det er bedst måde at vise på i rækkefølgen.

#16

Hvordan har du udregnet højresiden i

    a_k+1 = (1-(k + 1))/(k + 1)! + a_k-2 = 1/(k + 1)! + 1/k! + a_k-2

?

Man kan vise udtrykket uden at benytte induktion. Man har af definitionen, at

        a_k + a_k-1 + a_k-2 = 1/(k+1)!

og

        a_k+1 + a_k + a_k-1 = 1/(k+2)!

Deraf følger, at

       a_k+1 - a_k-2 = 1/(k+2)! - 1/(k+1)! = (1 - (k+2))/(k+2)!

hvilket er udtrykket for k+1 .

#17

Det er en fortegnsfejl. Der skulle stå

(1 - (k + 1))/(k + 1)! = 1 /(k + 1)! - (k + 1)/(k + 1)! = 1/(k + 1)! - 1/k!, så får man

a_k+1 = 1/(k + 1)! - 1/k! + a_k-2 = 1/(k + 1)! - 1/k! + 1/k! - a_k - a_k-1

        = 1/(k + 1)! - a_k - a_k-1, hvilket er passende, når man sætter n = k + 1, dvs.

a_n = 1/n! - a_n-1 - a_n-2 for n ≥ 2.