Matematik

Mål

26. september 2014 af ma1908 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

 Lad (X,A,µ) være et målrum, A_1,A_2,A_3,...\in \mathbf{A} og antag

 \sum_{j=1}^\infty \mu(A_j)<\infty 

Jeg skal nu vise at 

\lim_{n\to \infty}\mu \left ( \bigcap ^n_{j=1} A_j \right )=0

Jeg tænker at jeg skal definere B_k:=A_1 \cap A_2 \cap...\cap A_k

Dette er en aftagende følge da B_1 \supseteq B_2\supseteq B_3... 

Kan jeg heraf konkludere at B_k \to \O \text{ for } k \to \infty?  


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der gælder, at μ(Aj) ≥ 0 , og da rækken ∑j=1 μ(Aj) er konvergent, må der gælde μ(Aj) → 0 for j → ∞ .

Sætter man  Bk = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak , har man   μ(Bk) ≤ min(μ(A1),μ(A2),...,μ(Ak)) . Da μ(Aj) → 0 , må der også gælde, at μ(Bk) → 0 for k → ∞ .


Svar #2
26. september 2014 af ma1908 (Slettet)

Mange tak!

Jeg skal også vise, at

n \cdot \mu\left ( \bigcap _{j=1}^n A_j\right )\leq \sum_{j=1}^n\mu(A_j)

Kan du måske komme med et hint?


Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#2

Det følger jo så af uligheden i #1

        μ(Bn) ≤ min(μ(A1),μ(A2),...,μ(An))

hvoraf

        n·μ(Bn) ≤ n·min(μ(A1),μ(A2),...,μ(An)) ≤ μ(A1) + μ(A2) + ... + μ(An) = ∑nj=1 μ(Aj)


Brugbart svar (0)

Svar #4
27. september 2014 af Materfabb (Slettet)

I opgave c) skal man vise at

Men er det ikke stortset det samme som vi lige har gjort i b) ??
Hvordan skal man ellers vise ovenstående?


Svar #5
28. september 2014 af ma1908 (Slettet)

Har du fundet ud af hvordan man viser den?


Brugbart svar (0)

Svar #6
29. september 2014 af Materfabb (Slettet)

Nej desværre, er der nogen der kan hjælpe?


Brugbart svar (1)

Svar #7
30. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man har så

        \mu (\bigcap_{j=1}^{\infty}A_{j})=\lim_{n\rightarrow \infty}\mu (\bigcap_{j=1}^{n}A_{j})\leq \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mu (A_{j}))\leq \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j}))=0

da rækken ∑j=1 μ(Aj) er oplyst at være konvergent.


Brugbart svar (0)

Svar #8
30. september 2014 af Materfabb (Slettet)

Ja det kan jeg godt se, men i opgave d) skal man bruge svarene fra de forrige opgaver, opgaven ser således ud:

Så hvordan løser jeg denne opgave?


Brugbart svar (0)

Svar #9
30. september 2014 af Materfabb (Slettet)

Og hvordan ved vi at rækken er konvergent i c'eren?


Brugbart svar (1)

Svar #10
01. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#9

Det er jo oplyst i opgaven. ∑j=1 μ(Aj) < ∞ .


Brugbart svar (0)

Svar #11
01. oktober 2014 af Materfabb (Slettet)

Ah ja, tænkte på kontinuitet.

Og hvordan løser man så d)?


Skriv et svar til: Mål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.