Matematik

Linjens ligning og cirklens ligning

01. oktober 2014 af Jessies (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej med jer :)

Jeg er gået i stå e opgaven:

Vis, at linjen med ligningen 3x − 4y = 12 tangerer cirklen med ligningen x2 + y2 + 6x − 2y − 15 = 0, og bestem røringspunktets koordinater.

Jeg har så vist at den tangerer cirklen:

3x - 4y - 12 = 0 og (x + 3)2 + (y - 1)2 = (25 / \sqrt{}25 ) 2 => 625 / 25 = 25, C(-3, 1).

Derefter kan jeg ikke komme videre med at bestemme røringspunktets koordinater.

Tak på forhånd :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Linien med ligningen 3x -4y = 12 har normalvektoren   n = [3 ; -4] . Liniens normalvektor er retningsvektor for radius fra cirklens centrum C(-3;1) gennem røringspunktet P. Cirklens radius er r = 5. En stedvektor til røringspunktet er da en af de to stedvektorer

        OP = OC ± r · n/|n|

og da |n| = r, er røringspunktet altså et af de to punkter

        OP = OC ± n = [-3 ; 1] ± [3 ; -4] .

Kun det af de to punkter, der ligger på linien, er det søgte røringspunkt.


Brugbart svar (0)

Svar #2
01. oktober 2014 af peter lind

isoler x (eller y) i linjens ligning og sæt det ind i cirklens ligning. Det giver en ligning som bestememr y (eller x) koordinaten. Når der kun er en løsning, viser det at linjen tangerer

Anden mulighed. Find en normalvektor n til linjens ligning som har længden radius i ligningen. Hvis C er centrum for cirklen er OC ± n en stedvektor til røringspunktet


Svar #3
01. oktober 2014 af Jessies (Slettet)

x = -3 + 4y +12

Hvordan skal det så se ud når jeg indsætter det ind i cirklens ligning?

Jeg har ikke prøvet det før, så jeg er i tvivl.


Brugbart svar (0)

Svar #4
01. oktober 2014 af peter lind

Det er forkert

3x − 4y = 12 <=> 3x = 4y+12 <=> x = 4y/3+4

Indsætter du det i cirklens ligning

x2 + y2 + 6x − 2y − 15 = 0

(4y/3+4)2 + y2 + 6(4y/3+4) − 2y − 15 = 0


Svar #5
01. oktober 2014 af Jessies (Slettet)

Hvad er så det næste trin?
 


Svar #6
01. oktober 2014 af Jessies (Slettet)

Isoler y?


Brugbart svar (0)

Svar #7
01. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#6

Ja, løs 2.-gradsligningen i y .


Svar #8
01. oktober 2014 af Jessies (Slettet)

Okay, jeg prøver.

Mange tak for hjælpen :)


Brugbart svar (0)

Svar #9
02. oktober 2014 af mathon

Da centrums afstand fra tangenten regnet med fortegn efter retningen af
normalvektor
                         \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 3\\-4 \end{pmatrix}
er
              dist\left ( l,C(-3,1) \right )=\frac{3\cdot \left (-3 \right )-4\cdot 1-12}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}={\color{Red} \mathbf -}5

ligger centrum i tangentens negative halvplan.

Retningen fra centrum mod tangenten er således ensrettet med tangentens normalvektor,
hvorfor røringsspunktet P(x,y)
opfylder

                          \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\frac{r}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot \overrightarrow{n}

                          \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\1 \end{pmatrix}+\frac{5}{5}\cdot \begin{pmatrix} 3\\-4 \end{pmatrix}
                      
 


Skriv et svar til: Linjens ligning og cirklens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.