Matematik

Numerabelitet

22. oktober 2014 af Whut (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan kan det være, at mængden A = {n + m√2 | n,m ∈ Z} er tællelig? I så fald, forstår jeg det som en delmængde af R, som ikke er tællelig, og derfor er A ikke tællelig.


Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2014 af peter lind

kvrod(2) er jo blot et fast tal. De forskellige tal bestemmes udelukkende af n og m, som er heltal og dem ved vi er numerabel


Brugbart svar (0)

Svar #2
22. oktober 2014 af Drunkmunky

Det er fordi, at der findes en surjektiv funktion fra ZxZ til mængden A. Da følger det, at A er tællelig, thi |ZxZ|=|N|.


Svar #3
22. oktober 2014 af Whut (Slettet)

#1

OK. Tak. Jeg er med på, at Z er numerabel, men bare ikke med mængden A, for √2 er det eneste problem for mig. Eller sagt på en anden måde; hvis man har en mængde {n + am | n,m ∈ Z og et eller andet a∈ R}, vil det være tællelig?

#2

Surjektiv (eller bijektiv)? Kan du give et eksempel på eksistensen af afbildningen f: Z×Z → A? Jeg er med på, at hvis der findes en injektion afbildning g : A → N, så vil f o g : Z×Z → N være injektiv, når afbildningen f er bijektiv.


Brugbart svar (0)

Svar #4
22. oktober 2014 af peter lind

Afbildningen af Z×Z -> A er jo givet i opgaven den er (n, m) -> n+m*kvrod(2)


Svar #5
22. oktober 2014 af Whut (Slettet)

#4

Hmm. Det vil sige, f: Z×Z → A givet ved f(n,m) = n + m√2. Jeg ser, at det er en injektiv afbildning (ved ikke om surjektiviteten). Konkluderer man så derfra, at A er tællelig idet Z×Z er tællelig?


Brugbart svar (0)

Svar #6
22. oktober 2014 af Drunkmunky

Definer ζ:ZxZ->A ved ζ(n,m)=n+√2m. Det ses let, at ζ er en surjektiv afbildning.

Det der skal vises er, at for en surjektiv afbildning f:N->X, så er X tællelig.

Bevis:

f-1({x})≠Ø for alle x i X, da f er surjektiv. Enhver ikke tom delmængde A af N har et minimalt element, som vi kalder min(A). Definer nu g:X->N ved g(x)=min(f-1({x})) for x i X.

Bemærk, at g(x) er et element i f-1({x}). Antag nu, at x≠y, hvor x,y er i X. Så gælder, at f-1({x})∩f-1({y})=Ø, og følgeligt må g(x)≠g(y), så g er injektiv, som var det vi skulle vise.


Skriv et svar til: Numerabelitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.