Induktion

Når du formulerer opgaven, har vi bedre mulighed for at hjælpe med den. Der er ikke noget vedlagt.

Upss.

Vis ved direkte regning at den gælder for n = 9. Antag derefter at den gælder for n>9. Indsæt n+1 i stedet for n og se hvor meget de to sider vokser

Jeg indsætter k+1 istedet for n:

Hvordan udregner jeg dette? Jeg har vist det ved direkte beregning, men skal bevise det ved induktion

Det passer jo ikke.

Venstre side k^k-3   (n+1)^n+1-3 = (n+1)^n-2   divider den med n^n-3 for at se hvor meget større den er blevet

højre side bliver k! = (n+1)!   Se igen med hvor stor en faktor venstre side er blevet multipliceret med

jeg sætter jo n til k+1, skal jeg så ikke sige 

Nej se dog #5.

Man skal vise, at    p(n): n^n-3 ≥ n!  gælder for n ≥ 9 .

Man antager, at udsagnet gælder for n, altså at p(n) er sandt. Man har så

        (n+1)^n+1-3 = (n+1)^n-2 = (n+1)·(n+1)^n-3 ≥ (n+1)·n^n-3 ≥ (n+1)·(n!) = (n+1)! .
                                                                                      |
                                                                 (her benyttes at p(n) er sandt)

og heraf følger så p(n+1) .

#8

Så skal jeg gøre det samme med n+1, og dermed får jeg bevist det ved induktion?

Det er beregnet for n+1 i #8

hmm forstår ikke helt, hvordan det kan være beviset, idet jeg i de tidligere har fået det samme som i højresiden af ligheds tegnet. Men det måske noget andet når det er med ≥?

#11

Man antager, at p(n) er sandt og viser, at så er p(n+1) sandt.

Man kan ikke vise det med = , kun med ≥ .

Men hvordan kan det (n+1)! være sandt?

#13

Det er jo vist i #8. Man antager, at p(n) er sandt, altså at n^n-3 ≥ n! . For at vise, at p(n+1) er sandt, skal man vise, at (n+1)^n-2 ≥ (n+1)! . Man starter med venstresiden

        (n+1)^n-2 = (n+1)·(n+1)^n-3 ,

der jo er større end eller lig med   (n+1)·n^n-3 ,

og da n^n-3 ≥ n! , fordi vi antager at p(n) er sand, har vi da, at

        (n+1)^n-2 = (n+1)·(n+1)^n-3 ≥ (n+1)·n^n-3 ≥ (n+1)·(n!) = (n+1)!

og dermed har vi vist, at p(n+1) er sand.