Matematik

Principal logarithm.

31. oktober 2014 af Whut (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Er det korrekt, en principal logarithm f(z) = Log(z) er defineret for z ∈ C\ {0}? Eller tager jeg fejl, at Log(z) ikke må have en værdi, når z er mindre end eller lig med nul i det komplekse rum?


Brugbart svar (1)

Svar #1
31. oktober 2014 af mathon

           \log_e(r\cdot e^{i\cdot \varphi })= i\cdot \varphi +\log_e(r)


Brugbart svar (1)

Svar #2
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er korrekt, at den principale logaritme er defineret for alle z ∈ C\ {0} . Bemærk også, at relationerne < og > ikke er defineret i C . Det har derfor ingen mening om at tale om komplekse tal z for hvilke z < 0 .


Svar #3
31. oktober 2014 af Whut (Slettet)

#2 Hmm ok, tak. Min bog er ikke særlig læsebar i nogle tilfælde. Hvis der står, at f(z):= Log(z + 1) er holomorf i C\(-∞, -1], så forstår jeg nu ikke hvor (-∞, -1] kommer fra. Jeg ville skrive som en note:

Lad en funktion f:C\{-1} → C være givet ved f(z) = Log(z + 1). Da er f '(z) = 1/(z + 1) for z ≠ -1. Derfra er jeg gået i stå.


Brugbart svar (1)

Svar #4
31. oktober 2014 af Drunkmunky

Der gælder, at den principale er holomorf i den opskårne plan Cπ defineret ved C\{z∈R | z≤0}.

Altså har du her, at så må Log(z+1) være holomorf i C\{z∈R | z+1≤0} hvilket er det samme som, C\(-∞, -1].


Svar #5
31. oktober 2014 af Whut (Slettet)

#4

Det giver mening nu. Mange tak for hjælpen allesammen!


Svar #6
31. oktober 2014 af Whut (Slettet)

#5

Never mind. Slettet. Tak endnu en gang.


Brugbart svar (1)

Svar #7
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#4

Bemærk dog, at z+1 ≤ 0 ikke er tillagt mening i de komplekse tals legeme.


Skriv et svar til: Principal logarithm.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.