Matematik
Hjælp til at beregne en fuldstændig kompleks løsning til en differentialligning
Hej
Jeg har prøvet at løse opgaven, som er vedhæftet, men jeg er gået i stop, da jeg ikke ved hvordan jeg komme videre. Jeg har prøvet at kigge i min bog og det giver mere mening i den.
Svar #1
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
Man skal finde den fuldstændige løsning til differentialligningen
Z''(t) + 5Z'(t) + 6Z(t) = 2e6it .
man bestemmer først den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning. Da polynomiet
x2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
har rødderne x = -2 og x = -3 , er den fuldstændige løsning til den homogene løsning da
Zhom(t) = c1·e-2t + c2·e-3t .
For at finde en partikulær løsning til den inhomogene ligning prøver man med en funktion af formen
Zpart(t) = c·e6it ,
og indsættes den i differentialligningen finder man
c = 2/(-36 + 30i + 6) = -(1/15) · (1/(1-i)) = (-1/15) · (1+i)/2 = -(1/30)·(1+i) .
Den fuldstændige løsning er da
Z(t) = Zhom(t) + Zpart(t) = -(1/30)·(1+i)·e6it + c1·e-2t + c2·e-3t
Svar #3
19. november 2014 af Mount (Slettet)
Hvad gør jeg så forkert? Jeg indsætter den partikulære løsning ind i differentialligningen, beregner de afledede og så isolerer jeg k
Svar #5
19. november 2014 af Mount (Slettet)
Jeg har lavet dette nu, er jeg på rette spor?
Svar #6
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)
Jeg har helt den samme opgave med helt de samme tal. Det første billede du vedhæftede er helt rigtigt.. Ender også med (-60-60i)/1800 som så kan forketes til -1/30-1/30*i. Men ved dog ikke hvilken del man skal bruge som den partikulære løsning.
Svar #7
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Den partikulære løsning er så (se #1)
Zpart(t) = c·e6it = -(1/30)·(1+i)·e6it
Svar #8
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)
#7 Mit CAS værktøj får den partikulære løsning til (-1/30-1/30*i)e6it.... Men det forstår jeg ikke helt da vi så både har realdelen og den imaginæredel?
Svar #9
19. november 2014 af bananman (Slettet)
Så adderer jeg den homogene løsning og den partikulære?
Svar #10
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Dit CAS-værktøj får jo den samme løsning som #7.
#9
Ja, som det er vist i #1.
Svar #11
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)
Hov når ja. Men hvordan ved jeg så at det er det der er løsningen.. Jeg har jo både den reelle del og den imaginære del med...
Svar #12
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#11
Ja, konstanten er jo en kompleks konstant. Man undersøger, om en funktion af formen
Zpart(t) = c·e6it
kan være en løsning til den inhomogene ligning, og det er tilfældet, hvis
c = -(1/30)·(1+i) .
Derfor er
Zpart(t) = c·e6it = -(1/30)·(1+i)·e6it
en partikulærløsning til den inhomogene ligning.
Svar #15
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#14
Vi kan jo umuligt vide, hvilken opgave du har bedt Maple om at løse, men den vedlagte funktion i #14 er ikke løsning til differentialligningen i opgaven.
Svar #17
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#16
Som du har skrevet det, tror Maple, at It er en konstant, og højresiden er bare en konstant 2·e6k , hvor k = It .
Du skal sikkert skrive = 2*e^(6*I*t) på højre side.
Svar #19
19. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#18
Ja, og det er jo det samme som løsningen i #1.
Du burde have så meget overblik, at du ved, at ln(e) = 1 .
Svar #20
19. november 2014 af Mount (Slettet)
Det ved jeg, men hvor kommer de 30 fra. Det der er i nævneren giver ikke 30