Newton-Raphsons metode

Hvad er du i tvivl om her?

#1

Jeg er sådan set med på den sædvanlige Newton-Raphsons metode, hvor man er interesseret i at løse:

f(x) = 0

hvor:

x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

er den nye x-værdi som man efterfølgende indsætter i sin funktion. Dette gør man så indtil f(x) = 0 er løst.

Men jeg har svært ved at overføre det til mit eget problem. Jeg er i det følgende interesseret i at løse den transcendente ligning (2.4), som er en funktion af φ og λ (a og b er også funktioner af φ og λ), mens de øvrige størrelser er kendte:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Bemærk notationen i (2.5), hvor man har et lighedstegn mellem D'erne og deres definitioner.

Der står så, at man kan benytte sig af Newton-Raphsons metode i (2.9):

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/2.jpg

Det ser da ikke bekendt ud i forhold til den oprindelige Newton-Raphsons metode? Det er sådan set delt op i to omgange, hvor vi først indsætter en λ-værdi, hvorefter vi bestemmer den φ-værdi, der gør, at den transcendente ligning er opfyldt. Til sidst gør man så det omvendte, hvor vi indsætter en kendt φ-værdi og bestemmer λ-værdien, der opfylder D = 0.

#2

Her kan man benytte Newton-Raphson på en funktion af 2 variable, f(x,y) ved at skifte mellem de to variable.

#3

Ja, men kan du ikke forklare, hvordan man "læser" (2.9)? F.eks.:

D(φ,λ) + ∂D(φ,λ)/∂λ · Δλ = 0

Hvis vi antager værdien φ = 10, så bliver D en funktion af λ. Det næste led må være D(φ,λ) differentieret mht. λ, hvorefter φ = 10 indsættes. Hvad er så Δλ?

#4

Man skifter mellem at iterere i den ene variabel til en lokalt ekstremum, derefter i den anden variabel, osv. til man kommer tilstrækkelig tæt på et nulpunkt.

#5

Ok, jeg må studere det lidt nærmere. Tak.

Du kender åbenbart til differentiation med flere variable. Find i stedet gradienten for funktionen i et punkt Den peger i den retning hvor funktionsværdien vokser mest. Den modsatte retning peger i den retning hvor funktionen aftager mest.