Matematik

Integralregning

24. november 2014 af stropper - Niveau: Universitet/Videregående

Er der en venlig sjæl, der kan hjælpe med denne opgave:

Vi betragter funktionen:

$F: \left [ 1\right ; \infty [: F(x) = \int_{1}^{x}t \mathbf{{ln}} t dt.$

1. Udregn det ubestemte integral:

$\int t\textbf{ln}tdt$

2. Udregn det bestemte integral:

$\int_{1}^{e}t\textbf{ln}tdt$

3. Bestem en forkskrift for funktionen F, og vis, at F er stregngt konveks på intervallet [1, $\infty$ [.

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Beregn stamfunktionen for eksempel ved at benytte partiel integration

∫ t·ln(t) dt = (t²/2)·ln(t) - ∫ (t²/2)·(1/t) dt = (t²/2)·ln(t) - t²/4 + k

Vis, at funktionen F(x) er strengt konveks ved at vise, at dens afledede funktion er strengt monotont voksende på intervallet [1;∞[ .

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. november 2014 af mathon

$\int t\cdot \ln(t)dt=\frac{1}{2}t^2\cdot \ln(t)-\frac{1}{2}\cdot \int t^2 \cdot dt\frac{1}{t}=\frac{1}{2}t^2\cdot \ln(t)-\frac{1}{4}t^2+k=$

$\frac{1}{2}t^2\left (\ln(t)-\frac{1}{2} \right )+k$

Svar #3
24. november 2014 af stropper

Tak for hjælpen!

Kan vi også bruge partiel integration til opgave 2?

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der indsætter man jo grænserne i den stamfunktion, der blev fundet i spm 1. Man beregner F(e) .

Man fandt

F(x) = (x²/2)·ln(x) - x²/4 + 1/4

og man skal så beregne F(e) .

Svar #5
24. november 2014 af stropper

Vores konstant k er vel ikke 1/4?

Så vi indsætter og får: ((e²/2)·ln(e) - e²/4 + k) - (1²/2)·ln(1) - 1²/4 + k)

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. november 2014 af mathon

2.
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{1}^{e} t\cdot \ln(t)dt=\frac{1}{2}\cdot \left [t^2\left ( \ln(t)-\frac{1}{2} \right ) \right ]_{1}^{e}=\frac{1}{2}\cdot \left ( e^2\left (1-\frac{1}{2} \right ) -1\cdot \left ( 0-\frac{1}{2} \right )\right )=\frac{e^2}{4}+\frac{2}{4}=\frac{e^2+2}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

2. Funktionen F(x) er defineret ganske præcist som

F(x) = ₁∫^x t·ln(t) dt = (x²/2)·ln(x) -x²/4 - (-1/4) = (x²/2)·ln(x) - x²/4 + 1/4

Derfor er

F(e) = (e²/2)·ln(e) - e²/4 + 1/4 = e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4 .

Svar #8
24. november 2014 af stropper

#6 & #7

Når vi så i opgave 3 skal vise, at den er strengt konveks. Skal vi så finde grænseværdien? Eller hvordan skal den gribes an?

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Læs forklaringen i sidste sætning i #1. Man skal vise, at F ''(x) > 0 på det betragtede interval.

Svar #10
24. november 2014 af stropper

Jeg prøver mig frem og vender tilbage - tak!

Skriv et svar til: Integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.