Matematik

Find den maksimum - Funktion af flere variable.

24. november 2014 af Gamletrold (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.

Jeg er blevet stillet denne opgave, som har forvirret mig grusomt.
Jeg vælter rundt i det hele og det kunne være fantastisk med hjælp som kan skubbe mig i den rigtige retning:

Find den maksimale værdi for:

f(x,y)=xy-x^3*y^2

Over kvadratet $0\leq x\leq 1$ og $0\leq y\leq 1$

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Find mulige stationære punkter i det indre af kvadratet, og betragt så funktionen særskilt på kvadratets rand.

Svar #2
24. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Jeg differentierer i forhold til x:

f_1(x,y)=y-3x^2 y^2

Jeg differentierer i forhold til y:

f_2(x,y)=x-x^32y

Hvordan kommer jeg videre her?? Ved jeg skal finde nogle kritiske punkter, og noget med en gradient som skal være lig 0.

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Så løser man ligningssystemet

∂f/∂x = 0 og ∂f/∂y = 0

i kvadratets indre. Stationære punkter = kritiske punkter.

Svar #4
24. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

#3

Jeg får

$\frac{df}{dx}=0=y-3x^2y^2$

$x^2 = \frac{y}{3y^2}=\frac{1}{3y}$

$x=\sqrt{\frac{1}{3y}}$

$\frac{df}{dy}=0=x-x^32y$

$y=\frac{1}{2x^2}$

Er det rigtigt forstået, - hvis ja, er det så de stationære punkter som jeg har fundet her?

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvilke punkter har du da fundet?

Man skal løse ligningssystemet

y - 3x²y² = 0 og x - 2x³y = 0

man faktoriserer og får

y·(1 - 3x²y) = 0 og x·(1 - 2x²y) = 0

dvs.

(y = 0 ∨ x²y = 1/3) ∧ (x = 0 ∨ x²y = 1/2)

I det indre af kvadratet er x > 0 og y > 0 , og der er ingen punkter (x,y) her, der opfylder x²y = 1/2 = 1/3 .

Der er altså ingen stationære punkter i kvadratets indre. Undersøg nu funktionen på kvadratets rand.

Svar #6
24. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Ja okay, kan godt se nu hvordan du løser for at finde y og x.

Men hvordan du ved at der ingen punkter er som opfylder at x^2y = 1/2 = 1/3 forstår jeg ikke.
- Kan du uddybe teorien for mig?

Kan godt forestille mig at grafen så må være "flad" for f(x,y) = 0 og derfor så må have maksimum liggende i randen. - Hvordan undersøger jeg kvadratets rand?

Svar #7
24. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Synes det er svært at forestille sig funktioner i 3D

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. november 2014 af Martin67

gamletrold, har du fået løst opgaven? eller?

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Tallet x²y kan jo ikke både være lig med 1/2 og lig med 1/3 .

Man undersøger så de fire rande

        f(0,y) = 0
        f(x,0) = 0
        f(1,y) = y - y² , 0 ≤ y ≤ 1
        f(x,1) = x - x³ , 0 ≤ x ≤ 1 .

Svar #10
24. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Nej ikke endnu Matin67, kan komme med mit endelige bud når jeg forstår det bedre.

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. november 2014 af Martin67

gamletrold. tjek din mail.

Brugbart svar (0)

Svar #12
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Se http://www.wolframalpha.com/input/?i=3d+plot&a=*C.3d+plot-_*Calculator.dflt-&f2=x*y-x%5E3*y%5E2&f=3DPlot.3dplotfunction%5Cu005fx*y-x%5E3*y%5E2&f3=x&f=3DPlot.3dplotvariable1%5Cu005fx&f4=0&f=3DPlot.3dplotlowerrange1_0&f5=1&f=3DPlot.3dplotupperrange1_1&f6=y&f=3DPlot.3dplotvariable2%5Cu005fy&f7=0&f=3DPlot.3dplotlowerrange2_0&f8=1&f=3DPlot.3dplotupperrange2_1

Brugbart svar (0)

Svar #13
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Svar #14
25. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Fik hjælp af Martin 67, og forstår det bedre nu.
Tænker at man skal differentierer f(1,y) og f(x,1), er det rigtigt? og så finde x og sætte den lig 0 ?

Brugbart svar (0)

Svar #15
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Man skal finde maksimum for funktionen

f(1,y) = y - y² , 0 ≤ y ≤ 1

og for funktionen

f(x,1) = x - x³ , 0 ≤ x ≤ 1

og så bestemme den største af funktionsværdierne.

Svar #16
25. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Okay okay, prøver lige..

Brugbart svar (0)

Svar #17
25. november 2014 af BadBoyBard (Slettet)

#0: Har i lært om Lagrange og first order conditions (F.O.C.) endnu? Fordi denne metode kunne du nemlig også bruge.

Bard

Svar #18
25. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Har hørt det, men har ikke været til forlæsningerne til dette emne da jeg har ligget syg, hvilket giver det en ekstra form for sværhedsgrad :(

Skriv et svar til: Find den maksimum - Funktion af flere variable.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.