Matematik

fuldstændig løsning - differentialligning

25. november 2014 af Searchmath - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har fundet den partikulærløsning for vores 1 ordens diff.ligning:

(-2/5)*e^2*cos(t) - (1/5)*e^2*cos(t)

men det er jo ikke hele svaret for a) i opgaveformuleringen, vel?

Jeg mangler stadig og finde den fuldstændige løsning for den homogene differentialligning. Jeg ved bare at jeg skal sætte R*C*V'(t) + V(t)=0 altså sætte ligningen lig nul. Men hvordan løser man den homogene for sådan en 1ste orden diff.ligning?

Jeg kan ikke komme videre til b) før jeg kender den fuldstændig diff.ligning hvor konstanterne indgår.

Vedhæftet fil: opg3.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2014 af peter lind

Brug separation af variable

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. november 2014 af mathon

så du homogent har

$V{\, }'(t)+\frac{1}{RC}\cdot V(t)=0$

som multipliceres med $e^{\frac{t}{RC}}$

$e^{\frac{t}{RC}}\cdot V{\, }'(t)+\frac{1}{RC}\cdot V(t)\cdot e^{\frac{t}{RC}}=0$

$\left ( e^{\frac{t}{RC}}\cdot V(t) \right ){}'=0$
hvoraf den
fuldstændige homogene løsning:
$e^{\frac{t}{RC}}\cdot V(t)=V_0$

$V_{hom}(t)=V_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Svar #3
25. november 2014 af Searchmath

#2: Jeg burde få nogle konstanter C1 og C2?

#1: Hvad er det for en metode?

Hvis jeg havde en 2 grads.diff. ligning ville omforme den til en karakterligning finde rødderne og indsætte dem i en formel alt efter om jeg har to reelle rødder, to komplekse rødder eller en dobbelrod.

Hvordan gør jeg her?

Jeg gør brug at struktursætningen

Linhom = X0(t) + Lhom

Jeg har læst x0(t) som det ses i mit første indlæg. Jeg mangler så bare Lhom for at blive færdig.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. november 2014 af peter lind

se http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/difflign.html#separable

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Dit løsningsforslag i #0 er -(e²/5)·cos(t) , men den er slet ikke en løsning.

Svar #6
25. november 2014 af Searchmath

Jamen det er den partikulærløsning.

Jeg prøver at finde den homogene løsning også, så jeg kan bestemme den fuldstændig.

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvordan er du nået frem til den partikulære løsning?

Den homogene løsning er bestemt for dig i #2.

Svar #8
25. november 2014 af Searchmath

Jeg tror I har misforstået mig.

Jeg har gjort brug af denne metode, som er vedhæftet.

Vedhæftet fil:image.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #9
25. november 2014 af peter lind

Du kan sagtens bruge den metode til at gætte en løsning. Den forekommer mig ganske vist at være lovlig kompliceret. Hvis du sætter din gættede løsning ind i differentialligningen kan du let se, at den ikke passer. Hvad du har gjort galt kan jeg ikke vide.

Brugbart svar (0)

Svar #10
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Så skal du jo prøve med en partikulærløsning af formen

x₀(t) = a·cos(2t) + b·sin(2t)

Dit forslag i #0 er ikke en partikulærløsning.

Svar #11
25. november 2014 af Searchmath

Det har jeg også gjort :-)

Jeg omformet min højre og ventre side til en kompleks.
Jeg har bestemt a= 0, b= -1, omega= 2 og alfa=0 fordi de er de værdier der gør at vi får sin(2*t)
Vi skal så sætte disse værdier ind i højre side og får:

Re(-i*e^2*i*t)

Jeg skal så bruge Z0(t) og Z0'(t) :-) som jeg sætter ind på venstre side.

Jeg får så to ligninger med c og d som ubekendte.

Man opstiller en matrix og bestemmer så c= -2/5 og d= -1/5.

Dem sætter jeg så ind i (c+d*i)e^(alfa+omega*i)*t og så får jeg min partikulærløsning.

Svar #12
25. november 2014 af Searchmath

Men hvordan kan jeg få den fuldstændig løsning?
Jeg mangler den homogene løsning.

Brugbart svar (0)

Svar #13
25. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det, du har skrevet i #0, er ikke en partikulærløsning.

Igen: Den homogene løsning er bestemt for dig i #2.

Kalder man RC = α , er en partikulærløsning da

x₀(t) = -(2α/(1+4α²))·cos(2t) + (1/(1+4α²))·sin(2t)

Brugbart svar (0)

Svar #14
25. november 2014 af peter lind

Se #1 og #2

Du har altså regnet forkert et eller andet sted. Jeg kan på grundlag af det du har skrevet ikke se hvad der er galt.

En anden måde at finde en partikulær løsning.

Sæt højre side til e^i2t = cos(t)+i*sin(2t) og gæt på en løsning af formen k*e^i*2t. Sæt det ind i differentialligningen for at finde k. Den imaginære del af løsningen er så den løsning, du søger

Svar #15
26. november 2014 af Searchmath

#14:
Men ser mine løsninger for c og d rigtige ud?

Hvad er det for en gættemetode du bruger? Jeg skal bruge den komplekse gættemetode:)
Hvordan er du nået frem, til at du vil gætte på en konstant ganget på?

Brugbart svar (0)

Svar #16
26. november 2014 af peter lind

Nej. Der indgår jo ikke RC.

I din løsning indgår også e²; men da α=0 er det forkert.

Jeg vil lige gøre opmærksom på at dit a, b og α er ikke det samme som Andersens.

Den jeg bruger er en forenklet form for den du bruger. Jeg indfører en enkelt ukendt kompleks konstant k, hvilket giver meget mere enkle beregninger. Det skyldes at jeg dermed udnytter brugen af komplekse tal bedre. Jeg undgår således roderiet med a, b, c og d på den måde.

Brugbart svar (0)

Svar #17
26. november 2014 af peter lind

Tilføjelse til #16. Mit k er c+d*i i din metode

Svar #18
26. november 2014 af Searchmath

#2: jeg kan se der bliver divideret med RC på alle led, og det giver god mening, for så har diff ligningen den rigtige struktur.
Men hvorfor ganges der med e^(t/RC)

Svar #19
26. november 2014 af Searchmath

Og jeg vil gerne bruge 1/RC som p(t) for at løse den homogene, men den skal være en funktion gør jeg kan gøre fet :-/ må jeg så bare gerne omforme den til t/RC?

Svar #20
26. november 2014 af Searchmath

#9: hvordan kan man gøre det? :-)

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.