Matematik

Kritiske punkter

25. november 2014 af JogaBonito - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle 

Jeg sidder og har et problem med denne matematik opgave og håber i kan hjælpe mig med at løse den: 

Udregn i hånden de kritiske punkter for f .

f(x,y)=y^4+2(10)^2*(x^2+2xy) = y^4+200x^2+400xy

Skal jeg differentiere først mht. x og derefter y? 


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2014 af peter lind

ja


Svar #2
25. november 2014 af JogaBonito

Så det vil sige når vi differentiere mht. x og y, får vi: 

mht. x  

f(x)=400x+400y

og mht. y 

f(y)=4y^3+400x


Brugbart svar (0)

Svar #3
25. november 2014 af mathon

For indre stationære punkter
gælder hvor fx og fy eksisterer
gælder:
             Hvis f og dens første og anden delafledede er kontinuerte i en åben skive indeholdende (a,b)
             og hvis fx(a,b) = fy(a,b) = 0
så hvis
             i)  fxx < 0 og fxx·fyy-fxy2 > 0 i (a,b) er der lokalt maksimum
            ii)  fxx > 0 og fxx·fyy-fxy2 > 0 i (a,b) er der lokalt minimum
           iii)  fxx·fyy-fxy2 < 0 i (a,b) er der saddelpunkt
           iv)  fxx·fyy-fxy2 = 0 i (a,b)  kan intet konkluderes.

................

      f(x,y)=y^4+200x^2+400 xy
      f_{x}=400x+400y
      f_{y}=400x+4y^3
      f_{xx}=400
      f_{xx}=400
      f_{yy}=12y^2
      f_{xy}=400
.
I\! \! :\; \; \, \, 400x+400y=0
II\! \! :\; \; 400x+4y^3=0

dvs
             (x,y)=(-10,10)\; \; \vee \; \; (x,y)=(0,0)\; \; \vee \; \; (x,y)=(10,-10)


Svar #4
25. november 2014 af JogaBonito

Så det vil altså sige at vi kan gå ud fra: 

 ii)  fxx > 0 og fxx·fyy-fxy2 > 0 i (a,b) er der lokalt minimum

f_x_x > 0 og 400*12y^2-400^2>0 er der lokalt minumum. 

Men jeg forstår stadig ikke hvordan de kritiske punkter kan findes? 


Brugbart svar (0)

Svar #5
25. november 2014 af peter lind

Det gør du ved at løse ligningerne f'x = 0 og f'y=0


Svar #6
25. november 2014 af JogaBonito

Men det giver ikke helt mening da begge giver 0? 


Brugbart svar (0)

Svar #7
25. november 2014 af peter lind

Hvorfor skulle det ikke give nogen mening ?. Der er flere løsninger se #3


Svar #8
25. november 2014 af JogaBonito

Jeg har ikke helt forstået hvordan #3 er kommet frem til (x,y)=(-10,10) og (x,y)=(10,-10).


Brugbart svar (0)

Svar #9
25. november 2014 af mathon

    I:   400x +400y = 0  <=>  400x = -400y         som indsat i II giver
   II:   400x + 4y3 = 0

        -400y + 4y3 = 0
         y3 - 100y = 0
         y(y2-102) = 0
         y(y+10)(y-10) = 0
dvs
         y = -10   v    y = 0   v   y = -10   og   400x = -400y <=> x = -y
hvoraf
                  \begin{array} {|c|c|} x&y\\ \hline -10&10\\ \hline 0&0\\ \hline 10&-10\\ \hline \end{array}


Svar #10
25. november 2014 af JogaBonito

Der kan man bare se. Mange tak for at gøre det oveskueligt! :-) 

Der bliver spurgt om hvilken type de kritiske punkter er. 

Udregn i hånden typen af hvert af de kritiske punkter.

Er det ikke det ikke beskrevet i #3? 


Brugbart svar (0)

Svar #11
25. november 2014 af peter lind

jo


Svar #12
26. november 2014 af JogaBonito

#3

For indre stationære punkter
gælder hvor fx og fy eksisterer
gælder:
             Hvis f og dens første og anden delafledede er kontinuerte i en åben skive indeholdende (a,b)
             og hvis fx(a,b) = fy(a,b) = 0
så hvis
             i)  fxx < 0 og fxx·fyy-fxy2 > 0 i (a,b) er der lokalt maksimum
            ii)  fxx > 0 og fxx·fyy-fxy2 > 0 i (a,b) er der lokalt minimum
           iii)  fxx·fyy-fxy2 < 0 i (a,b) er der saddelpunkt
           iv)  fxx·fyy-fxy2 = 0 i (a,b)  kan intet konkluderes.

................

      f(x,y)=y^4+200x^2+400 xy
      f_{x}=400x+400y
      f_{y}=400x+4y^3
      f_{xx}=400
      f_{xx}=400
      f_{yy}=12y^2
      f_{xy}=400
.
I\! \! :\; \; \, \, 400x+400y=0
II\! \! :\; \; 400x+4y^3=0

dvs
             (x,y)=(-10,10)\; \; \vee \; \; (x,y)=(0,0)\; \; \vee \; \; (x,y)=(10,-10)

Jeg forstår ikke hvordan vi kan få et lokalt maksimum når fxx < 0 og fxx·fyy-fxy2 > 0?? 

Og har vi desuden ikke et saddelpunkt? 


Brugbart svar (0)

Svar #13
26. november 2014 af mathon

                                    \begin{array} {|c|c|} lokalt\; minimum\; i&saddelpunkt\; i\\ \hline (-10,0)\;\; og\;\; (10,-10)&(0,0) \end{array}


Svar #14
26. november 2014 af JogaBonito

Men ved at finde egenværdierne komme man frem til en positiv og negativ resultat. Vil det ikke sige at der er lokalt minimum og lokalt maksimum og et saddelpunkt? 


Skriv et svar til: Kritiske punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.