Rumfang og integralregning

Man kender også tangenthældningerne til parabelen i punkterne B og C. Det er tilstrækkeligt til at fastlægge parabelens forskrift.

Se på den trekant, der dannes af A, B og den lodrette nedfældet fra B. Det er en retvinklet trekant hvor du kender vinkel A og den vandrette katete. Brug dette til at finde y₀.

Kald parablens ligning for y= a*x²+b*x+c hvilket giver y'=2ax+b

y(8) har du lige fundet ovenfor

Hældningen af tangenten i B er tan(20º)= 2a*8+b

Desuden vides at y'(12) = 0. Det giver 3 ligninger til bestemmelse af a, b og c

#0

Hej, jeg har lidt problemer med den her opgave. Tror jeg skal integrere og så gange med dybden, men har ikke nogen forskrift. Tænkte at finde punkterne til de 2 tangenter og så finde forskriften for parablen men mangler et 3. punkt. Håber meget nogen kan hjælpe. 

Selve opgaven er vedhæftet, da det var nemmere end at forklare :)

Du behøver ikke parablen. Der gælder, at en parabel, som deler basis med og er indskrevet i en ligebenet trekant har et areal, som er 2/3 af trekanten. Du skal derfor bare finde trekantens areal og gange med 2/3.

Jeg forstår ikke helt det med tan(20º), hvor for er det ikke cos eller sin? Og jeg skal vel egentlig ikke bruge y(8) når jeg kender vinklen? 

#4

Hældningskoefficienten a for en ret linie med ligningen y = ax + b er netop lig med tangens til den vinkel, som linien danner med x-aksen.

Man kan beregne    y(8) = 8·tan(20º) .

Skal lige være helt sikker på at jeg har gjort det rigtigt. 

Har brugt f'(8)=tan(20) fra punktet b og f'(12)=0 fra toppunktet.

Dette har jeg løst så jeg har fundet a og b i tangenterne. Ud fra dette har jeg fundet y-koordinaten i toppunktet. Og nu har jeg 3 punkter som jeg har løst i forhold til hinanden og fået en forskrift. 

#6

Parabelen har forskriften

        f(x) = a·(x-12)² + c

Der skal gælde     f(8) = 8·tan(20º) = a·(8-12)² + c = 16a + c,

og der skal gælde

        f '(8) = tan(20º) = 2a·(8 - 12) = -8a

Heraf findes a og c.

Billedet viser bumpets tværsnit. Højden af den trekant, der indeholder parablen er 4 tan(20º), hvilket følger af proportionalitet. Samme trekants grundlinje er 8 og dens areal dermed 16 tan(20º). Arealet af parablen indskrevet i trekanten bliver derfor (2/3)·16 tan(20º). Arealet af resten er 2·8·8·tan(20º) = 128·tan(20º).

Areal af tværsnit = 138 2/3·tan(20º)

Arealet af hele den viste trekant er ½·24·12·tan(20º)=144·tan(20º)

#4

Jeg forstår ikke helt det med tan(20º), hvor for er det ikke cos eller sin? Og jeg skal vel egentlig ikke bruge y(8) når jeg kender vinklen? 

Hvis du kender hypotenusen og en vinkel skal du bruge sinus eller cosinus. Kender du derimod en katete, skal du bruge tangens, dvs. deres forhold.