bevis af en formel

Beregn rumfanget af beholderen som rumfanget af cylinderen med højde h og radius x minus rumfanget af en halvkugle med radius x. Sæt resultatet = 40 og isoler h.

Beregn arealet af bunden som en cirkel med radius x

Beregn overfladen af cylinderen med højde h og radius x

Beregn  overfladen af en halvkugle med radius x

Adder de 3 udtryk.

Erstat i udtrykket h med det h, du fandt i starten

     V = V_cylinder - V_halvkugle

     V = h•π•r² - (2/3)•π•r³ = 20

Isolér h

     h = 20/(π•r²) + (2/3)•r
 

Bestem overfladearealet udtrykt ved r (hvor r = x)

     O(r) = O(x) = O_cylinderbund + O_{cylinderflade} + O_{halvkugleflade}      

                       = ..      

tak for svarene, men jeg ved ikke helt hvordan jeg skal fortsætte hvor du slap LubDub

     O(r) = π•r² + 2•π•r•h + 2•π•r²

            = 2•π•h•r + 3•π•r²

            = 2•π•(20/(π•r²) + (2/3)•r)•r + 3•π•r²

            = ...

LubDub har gjort mig opmærksom på en fejl i #1.

I anden linje skal Sæt resultatet = 40 og isoler h.  erstattes af Sæt resultatet = 20 og isoler h.

i linje 2 LubDub, hvor får du 3 fra?

men efter man har erstattet h, hvad skal man så helt præcist... har forstået trinene indtil videre, men jeg kan ikke se, hvordan jeg kan komme videre...

jeg kan ikke lave det hele for dig

nej, men kan vha. den formel komme frem til 13/3? jeg kan ikke helt se hvordan..

eller når jeg skal reducere får jeg 40/x^2 og ikke 40/x

V = h•π•r2 - (2/3)•π•r3 = 20

Isolér h

     h = 20/(π•r2) + (2/3)•r

(synes ikke helt det stemme?)

jeg kan ikke få den til at gå op efter hvor du slap

jeg får 3*pi*r^2+2*r/3+40/r (her er det kun 40/r, der stemmer overens med formlen)

Du mangler at gange det mellemste led med 2π. Se #4

Overfladen består af cylinderens bund, cylinderens krumme overflade, samt en halvkugle:

Cylinderens bund: πx²

Cylinderens krumme overflade: 2πx·h

Halvkuglen: 2πx² .

Beholderens rumfang er    V = πx²·h - (2π/3)·x³

Man benytter betingelsen V = 20 til at udtrykke h ved x:

        h = (20 + (2π/3)·x³) / (πx²)

og det samlede overfladeareal er da

        O = 3πx² + 2πx·h = 3πx² + 2·(20 + (2π/3)·x³)/x

                                      = (3π + 2·(2π/3))x² + 40/x

                                      = (13π/3)x² + 40/x

Beholderens rumfang er    V = πx2·h - (2π/3)·x3

jeg forstår ikke, hvordan man kan dividere med 3?

eller hvordan dette udtryk blev til 

Beholderens rumfang er    V = πx2·h - (2π/3)·x3

#15, #16

Beholderen har form af en cylinder, hvorfra der skal trækkes en halvkugle.

Cylinderen har radius x og højden h og har derfor rumfanget V_cyl = πx²·h

Halvkuglen har radius x og har derfor rumfanget   V_hkgl = (1/2)·(4π/3)·x³ .

Det samlede rumfang af beholderen er derfor

         V = V_cyl - V_hkgl = πx²·h - (2π/3)·x³

men hvad er argumentet for at h skal isoleres, det kan jeg ikke helt se.. er det fordi den er udtryk ved h?

#18

Ved at benytte betingelsen V = 20 kan man eliminere h, hvorved overfladearealet O er en funktion O(x) af x alene, som man så sikkert skal finde ekstremum (minimum ?) for. Det er betydeligt simplere at finde ekstremum for en funktion af én variabel end det er af finde ekstremum for en funktion af to eller flere variable.

jeg har nu forstået alle trin, dog kan jeg ikke få de to sidste trin til at give mening: 

= (3π + 2·(2π/3))x2 + 40/x

  = (13π/3)x2 + 40/x

ift. hvad der sker..