Matematik

Trigonometriske ligninger

25. december 2014 af Rustnesøm (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg forstår ikke det her. Når man har en ligning med sinus er man nødt til at skrive begge løsninger som med sin x = - 0,5 i følge notaterne i min bog, men når man har tangens i en ligning skal man bare skrive en løsning f.eks. når man har 3 tan x = 1,5. Er der nogen der kan forklare for mig hvornår man skal skrive begge løsninger og hvornår man skal skrive en løsning?


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Begge ligninger har uendeligt mange løsninger. I mange tilfælde vil opgavens ordlyd antyde, om løsningerne skal begrænses til et bestemt interval.

Ligningen    sin x = -0,5     har de uendeligt mange løsninger

        x = -π/6 + p·2π , p∈ Z  ,   og    x = π - (-π/6) + p·2π , p∈ Z .

Tilsvarende har ligningen    3 tan x = 1,5    uendeligt mange løsninger

        x = tan-1(0,5) + p·π , p ∈ Z .


Svar #2
25. december 2014 af Rustnesøm (Slettet)

Naar man skal lose tan x = a er der i folge bogen bare en losning som er x = v + n * 180. Men naar man skal lose sin x= a er losningen x = v + n * 360 ogsaa skal man rotere den med 180 grader og substrahere den med v for at faa den anden losning. Er det vigtigt at jeg skriver begge losninger? Hvorfor skal man ikke rotere tangens med 180 grader naar man loser den?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

#2

Ligningen med tan har jo også uendeligt mange løsninger, som du selv angiver. Funktionen tan() er periodisk med perioden π, og indenfor intervallet ]-π/2;π/2[ er funktionen strengt voksende, så der er kun een løsning i hovedintervallet ]-π/2;π/2[ .

Funktionen sin() er periodisk med perioden 2π, og indenfor hovedintervallet [0;2π[ har en ligning af formen

        sin x = y    (-1 ≤ y ≤ 1)

i almindelighed to løsninger, nemlig    x = sin-1(y)   og x = π - sin-1(y) , der begge skal angives.


Svar #4
25. december 2014 af Rustnesøm (Slettet)

Jeg forstaar altsaa stadig ikke hvorfor man ikke skal skrive begge losninger naar man har tan x = a. Mens man skal skrive begge losninger naar man har sin x = a.

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

#4

Det skyldes, at for ligningen med tan() er der kun een løsning inden for et interval med længde svarende til 1 periode for funktionen tan(). For ligningen med sin() er der (i almindelighed) to forskellige løsninger inden for et interval med længde svarende til 1 periode for funktionen sin().


Svar #6
26. december 2014 af Rustnesøm (Slettet)

Man kan vel sige x = 180 + v + n * 180 for at faa den anden losning for tan x = a?

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

#6

Der er ikke tale om "den anden løsning" for tan() .Læs forklaringen i #5. Den fuldstændige løsning til ligningen

        tan x = a

er jo

        x = tan-1(a) + p·π , p ∈ Z .

Når p gennemløber mængden Z af de hele tal, fremkommer samtlige løsninger til ligningen.

Ved løsning af trigonometriske ligninger regner man sædvanligvis i radianer.


Skriv et svar til: Trigonometriske ligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.