Matematik

inhomogen 2.ordens diff. lig.

25. december 2014 af Kemi1996 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Hvordan finder man den fuldstændige løsning til denne 2. ordens inhomogene diff. ligning?

y''(x)+2y'(x)+2y(x)=2x+4

(Ligningen har y(x)=x+1 som løsning)

Jeg ved at man skal finde den fuldstændige homogene løsning + den partikulære inhomogene løsning. Hvordan finder man den partikulære inhomogene løsning?

På forhånd, tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
25. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

En partikulær løsning til den inhomogene ligning er netop y = x+1 . Find den fuldstændige løsning til den homogene ligning

y'' + 2y' + 2y = 0

og læg så dertil en partikulær løsning til den inhomogene ligning.

Svar #2
26. december 2014 af Kemi1996 (Slettet)

#1 tak for hjælpen!

Når der bliver bedt om at finde løsningen der opfylder y(0)= 1 og y'(0)=2 bliver jeg lidt forvirret fordi den fuldstændige homogene løsning har to konstanter der skal isoleres. Hvordan gøres dette korrekt?

y(x)= e^-x* c₁*cos(x)+e^-x * c₂ * sin(x) + x+1

Jeg indsætter x og y værdierne i denne ligning og i den differentierede men kan ikke isolere c₂

Brugbart svar (1)

Svar #3
26. december 2014 af mathon

$y{\, }'(x)=-e^{-x}\cdot c_2\sin(x)+e^{-x}\cdot c_2\cos(x)+1$

$y{\, }'(0)=2=-e^{-0}\cdot c_2\sin(0)+e^{-0}\cdot c_2\cos(0)+1$

$2=-1\cdot 0+1\cdot c_2+1$

c_2=1
hvoraf
$y(x)=e^{-x}\sin(x)+x+1$

Svar #4
26. december 2014 af Kemi1996 (Slettet)

#3 Når man differentierer y(x) skal man så ikke bruge produktreglen ?

Jeg får det nemlig til at hedde:

y'(x) = -e^-x * cos(x) + e^-x * (-sin(x)) * c₁ + (-e^-x) * sin(x) + e^-x * cos(x) * c₂ + 1

Brugbart svar (1)

Svar #5
26. december 2014 af mathon

$y(x)=e^{-x}\cdot \left ( c_1\cdot \cos(x) +c_2\sin(x)\right )+x+1$

$y(0)=1=e^{-0}\cdot \left ( c_1\cdot \cos(0) +c_2\sin(0)\right )+0+1$

1= c_1+ 1

c_1=0

$y(x)=e^{-x}\cdot c_2\sin(x)+x+1$

$y{\, }'(x)=-e^{-x}\cdot c_2\sin(x)+e^{-x}\cdot c_2\cdot \cos(x)+1$

$y{\, }'(0)=2=-e^{-0}\cdot c_2\sin(0)+e^{-0}\cdot c_2\cdot \cos(0)+1$

$\small 2=-1\cdot c_2\cdot 0+1\cdot c_2\cdot 1+1$

$\small c_2=1$

$y(x)=e^{-x}\cdot \sin(x)+x+1$

Svar #6
26. december 2014 af Kemi1996 (Slettet)

#5 Jeg takker for hjælpen !

Skriv et svar til: inhomogen 2.ordens diff. lig.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.