Den inverse af laplacetransformation

Benyt, at

        e^-s/((s+1)²+1) = (1/s)·e^-s · ((s+1)/((s+1)²+1) - 1/((s+1)²+1))

og benyt så foldningsteoremet.

#1

Er det helt umuligt at bruge reglerne (I) og (II) i #0?

Det skal give:

u(t-1)·e^-(t-1)·sin(t-1)

Nu ved jeg ikke hvilken tabeller du ha: Den jeg ha siger at L^-1(s²+1)^-1) = sin(t)

Bruger du din regel (I) får du det ønskede

#3

Der bliver ønsket om at finde:

L^-1( e^-s/((s+1)²+1) ) = ?

Hvordan kan du bruge (I), når reglen ikke inkluderer en eksponentiel funktion? Desuden indgår forskydning ikke i s-domænet i regel (II). Det er vel ikke muligt at bruge disse regler så?

Du har L(sin(t)) = (s²+1)^-1 =f(s)

L^-1(f(s+1))   = e^-t*sin(t+1) = F₁(t)

L^-1(e^-s(F₁(s) ) = u(t-1)*F₁(t-1) =

Man har

        L^-1((s+1)/((s+1)²+1)) = e^-t · cos(t)

        L^-1(1/((s+1)²+1)) = e^-t · sin(t)

        L^-1(e^-s/s) = u(t-1)

så

        L^-1(e^-s/((s+1)²+1)) = ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·cos(τ) dτ - ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·sin(τ) dτ

                                     = u(t-1) · ((1/2)·e^-(t-1)·(sin(t-1) - cos(t-1)) + (1/2)·e^-(t-1)·(cos(t-1)+sin(t-1)))

                                     = u(t-1) · e^-(t-1)·sin(t-1)

#6

Vil du prøve at forklare, hvordan man integrerer følgende:

₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·cos(τ) dτ  ,  især u(t-τ-1) delen

#7

Først finder man   

        ∫ e^-τ·cos(τ) dτ = e^-τ·sin(τ) dτ - ∫ (-1)·e^-τ·sin(τ) dτ = e^-τ·sin(τ) dτ + ∫ e^-τ·sin(τ) dτ

                              = e^-τ·sin(τ) dτ - e^-τ·cos(τ) - ∫ (-1)e^-τ·(-cos(τ)) dτ

                              = e^-τ·sin(τ) dτ - e^-τ·cos(τ) - ∫ e^-τ·cos(τ) dτ 

hvoraf man ser

        ∫ e^-τ·cos(τ) dτ = (1/2)·e^-τ·(sin(τ) - cos(τ))

Tilsvarende findes

        ∫ e^-τ·sin(τ) dτ = -(1/2)·e^-τ·(sin(τ) + cos(τ))

Dernæst benyttes, at u(t-τ-1) = 1 for t-τ-1 ≥ 0 dvs. for τ ≤ t-1 , og ellers = 0 .

Hvis t-1 ≥ 0 har vi da

        ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·cos(τ) dτ - ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·sin(τ) dτ = ₀∫^t-1 e^-τ·cos(τ) dτ - ₀∫^t-1 e^-τ·sin(τ) dτ

              = [(1/2)·e^-τ·(sin(τ) - cos(τ)) - (-(1/2))·e^-τ·(sin(τ) + cos(τ))]^t-1₀

              = [e^-τ·(sin(τ)]^t-1₀

              = e^-(t-1)·sin(t-1) .

For t-1 < 0 er u(t-τ-1) = 0 og integralerne er lig med 0. Det kan så sammenfattes i formlen

        ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·cos(τ) dτ - ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·sin(τ) dτ = u(t-1) · e^-(t-1)·sin(t-1)

#8

Intengrationen hed oprindeligt:

₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·cos(τ) dτ,

men hvorfor bestemmer du nu:

₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·cos(τ) dτ - ₀∫^t u(t-τ-1)·e^-τ·sin(τ) dτ ?

Kan heller ikke se, hvor sinus kommer fra.

#9

Følg omskrivningen i #1 og så videre i #6.

#10

Jeg ser på det, tak.