Matematik
Find samtlige løsninger Ax=b
A=
[1 1 1
2 2 5]
og
b=
[ 2
1 ]
jeg har fundet dette på nettet:
Complete solution
In order to find all solutions to Ax = b we first check that the equation is
solvable, then find a particular solution. We get the complete solution of the
equation by adding the particular solution to all the vectors in the nullspace.
Jeg ved at ligningen Ax=b kan løses ellers ville det være fjollet at bede mig om at løse en.
Jeg har lavet RREF
[ 1 1 1 2
2 2 5 1]
hvilket gav
[ 1 1 0 3
0 0 1 -1]
facit af opgaven er
[3; 0; -1] + x2 [-1 ; 1; 0]
Svar #1
26. december 2014 af Andersen11 (Slettet)
Ligningssystemet er
x1 + x2 + x3 = 2
2x1 + 2x2 + 5x3 = 1
Ganger man ligning (1) med 2 og trækker den fra ligning (2) får man
3x3 = -3 , eller x3 = -1
der så indsat i den første ligning giver
x1 + x2 = 3
Vi kan derfor bruge, for eksempel, x2 som parameter. Et fast punkt er (x1;x2) = (3;0) , og en retningsvektor i (x1,x2)-planen er (-1;1) , så løsningen er
[x1;x2;x3] = [3;0;-1] + t·[-1;1;0] , t ∈ R .
Svar #2
27. december 2014 af aatgsue (Slettet)
hvorfor skal man gange dem sammen og bagefter trække ligning 2 fra? Det forstår jeg godt nok ikke.
Jeg kan godt se at x3= -1 og x1=3 og x2= 0
alle steder jeg indtil videre har læst siger flg.: for at finde alle løsning skal man først row reduce matricen og ud af det får man particulat solution som skal adderes til alle vektorerne i nullrummet. Men hvordan finder jeg vektorerne i nullrummet? og hvor kommer x2 fra hvorfor skal man gange den på?
Svar #3
27. december 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Man skal ikke gange ligningerne sammen. Som jeg skrev: Man ganger ligning (1) med 2 (der ganges med konstanten 2). Det kaldes løsning ved lige store koefficienters metode.
x2 er benyttet som parameter. Jeg kaldte parameteren t for at gøre dette mere tydeligt.
Svar #4
27. december 2014 af aatgsue (Slettet)
ja men hvorfor lige præcis x2?
- og okay jeg har løst de to ligninger på en anden måde, men kommer også frem til dit svar.
Så vi har [3; 0; -1] og bruger x2 som parameter. hvad er det så du gør derefter, der er en retningsvektor og du snakker om planer lige pludselig. Kan du tydeliggøre hvad du mener, jeg er helt væk nemlig. Min bog siger at man skal finde vektorerne i nulrummet.
Svar #5
27. december 2014 af Andersen11 (Slettet)
Man kunne også bruge x1 som parameter.
Jeg kom fra en retningsvektor for liniens projektion i xy-planen til en retningsvektor for selve linien.
Det, du kalder nulrummet, er vel løsningsmængden til det homogene ligningssystem
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 + 2x2 + 5x3 = 0
hvor det er klart, at x3 = 0 , og x1 + x2 = 0 , hvis løsningsmængde er linien gennem [0;0;0] med retningsvektoren [-1;1;0] .
Svar #6
27. december 2014 af aatgsue (Slettet)
ja det er nulrummet :)! og det er den jeg skal adder til [3, 0, -1] x2 (eller x1) og jeg skulle gerne ud fra nulrummet få nogle vektorer
Svar #7
27. december 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Ja, [3;0;-1] er en partikulærløsning til det inhomogene ligningssystem
x1 + x2 + x3 = 2
2x1 + 2x2 + 5x3 = 1
og dertil lægger man så nulrummet t·[-1;1;0] , t ∈ R for at finde den fuldstændige løsnig til det inhomogene ligningssystem.
Svar #8
27. december 2014 af aatgsue (Slettet)
iorden jeg tjekker lige op på nulrummet. tak for hjælpen!
Skriv et svar til: Find samtlige løsninger Ax=b
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.