Matematik

Differentialregning

25. januar 2015 af Tila91 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej jeg er ved at lave en opgave, hvor jeg skal undersøge om funktionen f(x) = x^2*e^x er en løsning til differentialligningen dy/dx = 2y/x+y.

Jeg har fundet den afledte funktion: f'(x) = 2x * e^{x}* x^{2} * e^{^{x}}

Så indsætter jeg det i differentallingningen og erstatter y med forskriften for f(x) funktionen, så jeg får:

2x * e^{x}* x^{2} * e^{^{x}} = \frac{2(x^{2}*e^{x})}{}x +x^{^{2}}*e^{x} \Leftrightarrow

                                   = \frac{2x^{^{2}}*2e^{x}}{x} +x^{2}*e^{x}  \Leftrightarrow

                                   = 2x *2e^{x}+x^{2}*e^{x}

Jeg kan da se at jeg har lavet en fejl, da min lærer har været så flink at oplyse, at det er en løsning, men jeg synes ikke at kunne finde fejlen.

Kan nogle hjælpe mig?


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. januar 2015 af SuneChr

f '(x) = x·(x + 2)·ex


Brugbart svar (0)

Svar #2
25. januar 2015 af mathon

Hvis  \small f(x)=x^2\cdot e^x er en løsning til
differentialligningen
                                     \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2y}{x}+y

skal gælde:
                      \small f{\, }'(x)=\frac{2y}{x}+y
hvilket undersøges, om det er tilfældet:

                      \small \small y=x^2\cdot e^x

                      \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2\cdot \left (x\cdot e^x \right )+\left (x^2\cdot e^x \right )=2\cdot \frac{y}{x}+y

          


Brugbart svar (0)

Svar #3
25. januar 2015 af mathon

…din notation dy/dx = 2y/x+y er ikke entydig!

         kan betyde
                               enten   \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2y}{x+y}
                               eller     \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2y}{x}+y


Svar #4
25. januar 2015 af Tila91 (Slettet)

Jeg ved ikke lige, hvordan jeg ellers skal notere det, så det er entydigt for dig.

der står i opgaven at differentilligningen er  \frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x} +y.

Men mit problem er, at der er en fejl i min reducering på højre side og jeg kan ikke helt se, hvor fejlen er.


Brugbart svar (0)

Svar #5
25. januar 2015 af mathon

Du kan skrive
                                  dy/dx = 2·(y/x) + y


Svar #6
25. januar 2015 af Tila91 (Slettet)

Nårh okay, ja det vidste jeg jo egentlig godt.


Brugbart svar (0)

Svar #7
25. januar 2015 af mathon

\small 2x * e^{x\; } {\color{Red} +}\; x^{2} * e^{^{x}} = \frac{2(x^{2}*e^{x})}{x} \; \; +\; \; x^{^{2}}*e^{x}=\frac{2y}{x}+y


Svar #8
25. januar 2015 af Tila91 (Slettet)

Men 2 skal jo ikke ganges ind i hele brøken, men kun tælleren, så burde det ikke hedde dy/dx =(2y/x)+y


Brugbart svar (0)

Svar #9
25. januar 2015 af mathon

                            2·(y/x) = (2y/x)

                            \small 2\cdot \frac{y}{x}=\frac{2y}{x}


Svar #10
25. januar 2015 af Tila91 (Slettet)

mh okay, men når jeg ganger 2 ind i parentesen, så kommer den til at hedde (2x^2 *2e^x/x)+x^2*e^x, ikke?


Brugbart svar (0)

Svar #11
25. januar 2015 af mathon

Der er ingten flerleddet parentes - kun en brøk.


Svar #12
25. januar 2015 af Tila91 (Slettet)

mh okay så :)


Brugbart svar (0)

Svar #13
25. januar 2015 af Stats

Tror det er det her du ikke forstår/forstod...

\\ {\color{Blue} 2\cdot x\cdot e^x}+{\color{Red} x^2\cdot e^x}=\\ \\ \frac{{\color{Blue} 2\cdot x^2\cdot e^x}}{x}+{\color{Red} x^2\cdot e^x}=\\ \\ \frac{{\color{Blue} 2(x^2\cdot e^x)}}{x}+{\color{Red} x^2\cdot e^x}

- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #14
25. januar 2015 af Tila91 (Slettet)

Ja det var det jeg ikke forstod.

Så man ganger kun 2 ind på x^2 og ikke på e^x?


Brugbart svar (0)

Svar #15
25. januar 2015 af Stats

Du har jo,

2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x

Da skal du huske, at man kan forlænge en brøk.

\\ {\color{Blue} 1}\cdot 2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x \Leftrightarrow {\color{Blue} \frac{x}{x}}\cdot 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = \frac{x\cdot 2x\cdot e^x}{x} + x^2\cdot e^x = \\ \frac{2(x^2\cdot e^x)}{x} + x^2\cdot e^x

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #16
25. januar 2015 af Stats

 Med henblik på tælleren

x\cdot 2x\cdot e^x = x\cdot 2\cdot x \cdot e^x = 2\cdot x\cdot x \cdot e^x=2\cdot x^2\cdot e^x\\ 2\cdot (x^2\cdot e^x) \Leftrightarrow (2\cdot x^2)\cdot e^x \Leftrightarrow (2\cdot e^x)\cdot x^2

Rækkefølgen er ligegyldig... (Den associative lov)

Nu valgte man jo at sætte 2 uden for parentesen, så man fik et udtryk som

\frac{2y}{x}+y

- - -

Mvh Dennis Svensson


Skriv et svar til: Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.