Differentialligning

Venstre side kan omskrives til F(t) = m*dv/dt . Du har nu en differentialligning i v alene. Den kan løses med separation af variable eller panserformlen

Men -cv(t) er en luftmodstand, skal den ikke med i venstresiden?

Du kan anbringe den hvor du vil. Hvis du vil bruge separation af variable er den bedst som de står. Hvis du vil bruge panserformlen er formlen baseret på at c*v står på venstre side

Jeg bruger panserformlen på

og får

hvor c₁ er den nye konstant der fremkommer. Men jeg har problemer med at integrere integralet, er det korrekt at det giver

Panserformlen

Det er korrekt

#4

Ja, det er korrekt integreret.

Man kunne også benytte separation af de variable på differentialligningen

        v' = g - (c/m)v = -(c/m)(v - mg/c)

hvoraf

        v(t) = (mg/c) + c₁·e^-(c/m)t , c ≠ 0 .

Tusind tak!

Når man så finder stamfunktion til v(t) for at finde p(t) skal man så lægge endnu en konstant til, eller er det ikke nødvendigt?

#8

I den generelle stamfunktion til v(t) vil der indgå endnu en arbitrær konstant c₂ . Konstanterne c₁ og c₂ vil typisk blive fastlagt af betingelser for s(0) og v(0) .

Når personen bruger en faldskærm er c = 550.

Hvordan beregner man sluthastigheden v_min? 

#10

Sluthastigheden er konstanten    mg/c . Man lader t gå mod uendelig.

Det kommer jo an på hvaor langt han falder. Der tænkes nok på at han opnår en ligevægt, så de totale kræfter på personen bliver og hastigheden bliver konstant. I så fald er det givet ved m*g -c*v =0 Du kan også lade t ->∞ i din løsning

#12

Når du siger konstant, hvorfor betyder det så 0? Bliver de to kræfter lig med hinanden?

#13

Når hastigheden er konstant, er summen af kræfterne lig med 0, da accelerationen er 0. Denne betragtning giver samme resultat som hvis man lader t gå mod uendelig.

Er det her rigtigt forstået: når han åbner faldskærmen, så kommer der pludselig en acceleration opad, og manden accelererer opad indtil tyngdekraften trækker ligeså meget i ham som luftmodstanden bremser ham, og så er hans acceleration 0. Kan man overhovedet tale om en opadrettende acceleration, når han falder nedad?

Det er forkert. Der kommer en yderligere kraft opad som modvirker tyngdeaccellerationen. Den resulterende kraft er stadig nedad. Accellerationen aftager efterhånden som farten stiger og til slut blier den 0

Retningen af accellerationen og hastighedens retning kan godt være modsat hinanden. Det sker for eks. i det lodrette kast

Det forstår jeg ikke. Hvordan kan han blive ved med at accelerere nedad, når han åbner faldskærmen? Bliver han ikke bremset af den? Når han åbner faldskærmen er hans acceleration jo 0?

#17

Accelerationen er da ikke nødvendigvis 0 bare fordi faldskærmen bliver åbnet.

Uden faldskærm er accelerationen konstant g og pegende nedad. Når faldskærmen åbnes, vil accelerationen begynde at aftage i størrelse, men den vil stadig pege nedad, indtil accelerationen bliver 0. Man har jo netop her, at

        a(t) = g - (c/m)·v(t)

Det er korrekt at han bliver bremset men det betyder ikke at han ikke stadig accellerer nedad. Accellerationen bliver bare mindre end den ellers ville have været. Sagt med andre ord tyngdeaccellerationen er stadig den stærkeste

Du kan jo evt. beregne accellerationen i din model til to forskellige tidspunkter og sammenligne

Ahh, jeg har tegnet graferne for v(t) og a(t) nu, og det giver bedre mening. Dog viser grafen at hastigheden får en større værdi når t → ∞, indtil den bliver konstant. Det betyder vel at han bevæger sig langsomst i starten, eller hvad? Hvordan er sluthastigheden så et minimum?