Matematik

Opgave om gnavere

29. januar 2015 af snilo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg sidder og øver op til en prøve. Hvordan takler jeg denne opgave?

En population bestående af 100 gnavere isoleres på et afgrænset område. Antallet N af individer i populationen er en funktion af tiden t, målt i måneder. I en model er N den løsning til differentialligningen:

dy/dt = 0,0008*y(400-y), der opfylder, at N(0) = 100

a) Benyt modellen til at bestemme antallet af gnavere i populationen til tidspunktet t = 7

b) Tegn grafen for N i et koordinatsystem med linjeelementer

c) Bestem antallet af gnavere i området til det tidspunkt, hvor væksten er størst

Brugbart svar (1)

Svar #1
29. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Differentialligningen er den logistiske differentialligning. Benyt den færdige løsningsformel til at beregne N(7).

c) Bemærk, at

dy/dt = 0,0008·y·(400-y)

er et 2.-gradspolynomium i y. dy/dt er størst, hvor polynomiet 0,0008·y·(400-y) har maksimum, dvs. i polynomiets toppunkt, som er midt mellem polynomiets rødder.

Svar #2
29. januar 2015 af snilo (Slettet)

Hvordan finder jeg formlen for y?

Brugbart svar (1)

Svar #3
29. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Slå den færdige løsningsformel for den logistiske ligning op i din bog. Eller løs ligningen selv ved at benytte substitutionen y(t) = 1/u(t) .

Svar #4
29. januar 2015 af snilo (Slettet)

Jeg har alle værdierne med mangler C, hvordan ved jeg hvad C er?

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Benyt oplysningen N(0) = 100 til at fastlægge konstanten.

Svar #6
29. januar 2015 af snilo (Slettet)

jeg har ligenu at:

y=400/1+C*e^(-0,0008*400*t)

Hvordan benytter jeg oplysningen om at N(0)=100 til at fastlægge konstanten?

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. januar 2015 af mathon

$N(t)=\frac{400}{1+Ce^{-0,32\cdot t}}$

$N(0)=\frac{400}{1+Ce^{-0,32\cdot 0}}=100$

$4=1+C\cdot 1$

C=3

Svar #8
29. januar 2015 af snilo (Slettet)

Tak :)

Svar #9
29. januar 2015 af snilo (Slettet)

Hvordan løser jeg c'eren?

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. januar 2015 af mathon

Når væksten er størst, er væksthastigheden størst:

dvs når
                    $\frac{\mathrm{d} ^2 N}{\mathrm{d} t^2}=0$
      dvs
                          $0,0008^2\cdot N\cdot (400-2N)=0$

400-2N=0

N(t)=200

Brugbart svar (0)

Svar #11
29. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#10

... hvilket svarer til, at 2.-gradspolynomiet

dN/dt = 0,0008·N·(400-N)

har sit maksimum i toppunktet, midt mellem de to rødder N = 0 og N = 400 .

Brugbart svar (0)

Svar #12
29. januar 2015 af mathon

$N(t)=\frac{400}{1+3e^{-0,32\cdot t}}=200$

$1+3e^{-0,32\cdot t}=2$

$3e^{-0,32\cdot t}=1$

$e^{-0,32\cdot t}=\frac{1}{3}$

$e^{0,32\cdot t}=3$

$0,32\cdot t=\ln(3)$

$t=\frac{\ln(3)}{0,32}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
31. januar 2015 af mathon

løs ligningen ved at benytte substitutionen y(t) = 1/u(t):

Brugbart svar (0)

Svar #14
31. januar 2015 af mathon

løs ligningen ved at benytte substitutionen y(t) = 1/u(t):

Vedhæftet fil:differentialligning_logistisk_3.docx

Skriv et svar til: Opgave om gnavere

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.