Matematik

Vektorer

02. marts 2015 af Sejedansk (Slettet) - Niveau: B-niveau

i et koordinatsystem i rummet har en plan alfa ligningen:

2x-y+z+3 = 0

og en linje l har paramterfremstillingen:

(x,y,z) = (1,2,3) + t (1, -1, 1) 

Undersøg, om P(4, -1, 6) er et punkt på l, og bestem projektionen af P på α .

Hvordan gør man nu? ved ikke hvordan man løser sådan en opgave. 

Nogen hjælp?


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. marts 2015 af mathon

Hvis P(4, -1, 6) er et punkt på linjen l,
skal
              \begin{matrix} 4=1+t\\ -1=2-t \\ 6=3+t \end{matrix}             være opfyldt for samme t-værdi.


Brugbart svar (0)

Svar #2
02. marts 2015 af mette48

x:           1+1t=4 ⇒ t=3  t beregnes ud fra x-værdien

         y= 2-1t= 2-3=-1   som for punktet

        z=3+1t =3+3=6 stemmer også

punktet ligger på linien


Brugbart svar (0)

Svar #3
02. marts 2015 af mathon

P(4,-1,6)'s prokejktionspunkt på \alpha, er skæringspunktet mellem
\alpha og linjen med parameterfremstillingen
 
 m\! \! :\; \; (x,y,z)=\left ( 4,-1,6 \right )+s\cdot (2,-1,1)   gennem P(4,-1,6) med \alpha 's normalvektor
                                                                                  som retningsvektor


Brugbart svar (0)

Svar #4
02. marts 2015 af mathon

dvs      

          2\cdot \left ( 4+2s \right )-\left ( -1-s \right )+\left ( 6+s \right )+3=0

                                  6s+18=0

                                  s+3=0

                                  s=-3                     

hvoraf P's projektionspunkt på \alpha
er:     
          (x,y,z)=\left ( 4,-1,6 \right )+(-3)\cdot (2,-1,1)


Brugbart svar (0)

Svar #5
02. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

For at beregne projektionen af punktet P(4, -1 , 6) på planen α med ligningen

        2x - y + z + 3 = 0

kan man beregne afstanden d fra punktet P til planen α :

        d = |2·4 - 1·(-1) + 1·6 + 3| / √(22 + (-1)2 + 12) = 18 / √6 .

Idet n = [2 ; -1 ; 1]  er en normalvektor til planen α , vil projektionen Q af punktet P på planen α være et af de to punkter med stedvektoren

        OQ = OP ± d·n/|n|

               = [4 ; -1 ; 6] ± (18/√6)·[2 ; -1 ; 1]/√6

               =  [4 ; -1 ; 6] ± 3·[2 ; -1 ; 1]

               =  [4 ; -1 ; 6] ± [6 ; -3 ; 3]

dvs.

        OQ = [10 ; -4 ; 9]  ∨  OQ = [-2 ; 2 ; 3] ,

og kun det sidste punkts koordinatsæt tilfredsstiller ligningen for planen α.

             


Skriv et svar til: Vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.