Ortonomal basis

Man skal først finde en ortogonal basis for de to egenvektorrum. Først da vil man normere vektorerne.

Løs ligningssystemerne hørende til de to egenværdier. Dimensionerne af egneværdirummene aflæses af oplysningerne i opgaven.

Hvordan finder man en ortogonal basis? 

#2

Idet A er den symmetriske matrix i opgaven skal man løse ligningerne

        A x^T = 8·x^T

og

        A x^T = 4·x^T

#3: Det prøver jeg lige :)

Jeg skal lave en funktionsundersøgelse (i vedhæftet fil). Jeg er lidt på bar bund, men hints af samme art som i #3 hjælper rigtig meget på forståelsen af teorien. 

#4

a) Benyt udtrykket for den retningsafledede.

b) Se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1580700

c) Se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1580954

I øvrigt: opret en ny tråd, n9r det nye spørgsmål ikke har noget med den foregående diskussion at gøre.

#5: Jeg opretter lige et nyt indlæg så.

#3: Jeg har bestemt en ortonormal basis, hvordan kan jeg nemt tjekke om  jeg har regnet rigtig ud (udover at se om de er indbyrdes ortogonale og har længden 1) ?

Jeg er i gang med samme opgave, men er nået til delopgave b). Kan du give mig hints?

Jeg får den til at være 8*y1^2+8*y2^2+4*y3^2+4*y4^2+4*y5^2

#7

Ja, to af koefficienterne vil være 8, og tre af dem vil være 4.

#3: Jeg har anvendt Gramschmidt til at løse opgaven, men hvis jeg nu ønskede at løse den på din måde, hvordan skal jeg så finde x i din ligninger. Jeg kan nemlig  ikke bare isolere den. 

#9

Ser vi først på ligningen for egenværdien 8, altså

        A x^T = 8·x^T

får vi koefficientmatricen

  -3   1   0  -1   1
   1  -3   0  -1   1
   0   0   0   0   0
  -1  -1   0  -3  -1
   1   1   0  -1  -3

og ved passende addition og subtraktion får vi de fire ligninger

   -2(x₁ + x₂)  + 2(-x₄ + x₅) = 0
    4(-x₁ + x₂)                     = 0
                      -4(x₄ + x₅)   = 0
    -2(x₁ + x₂) + 2(-x₄ + x₅) = 0

dvs.

        x₁ = x₂
        x₄ = -x₅
        x₁ + x₂ = -x₄ + x₅ = 2x₅

dvs.

        x₁ = s
        x₂ = s
        x₃ = t
        x₄ = -s
        x₅ = s

Egenværdirummet udspændes altså af de to vektorer [1 , 1 , 0 , -1 , 1] og [0 , 0 , 1 , 0 , 0], der er ortogonale.

#9 (Fortsættelse af #10)

Ser vi derefter på ligningen for egenværdien 4, altså

        A x^T = 4·x^T 

får vi koefficientmatricen

   1   1   0  -1   1
   1   1   0  -1   1
   0   0   4   0   0
  -1  -1   0   1  -1
   1   1   0  -1   1

hvorfra vi udtrækker ligningerne

      x₁ + x₂ - x₄ + x₅ = 0
                  x₃          = 0

og vi finder da en parameterfremstilling for løsningen

        x₁ = - s + t - u
        x₂ = s
        x₃ = 0
        x₄ = t
        x₅ = u

Egenværdirummet udspændes derfor af de tre vektorer

        w₁ = [-1 , 1 , 0 , 0 , 0] ,  w₂ = [1 , 0 , 0 , 1 , 0] , w₃ = [-1 , 0 , 0 , 0 , 1]

Disse tre vektorer er ikke ortogonale, så man kan benytte Gram-Schmidt til at konstruere et sæt vektorer ud fra disse, der er ortogonale.

Udfører man Gram-Schmidt på basen {w₁,w₂,w₃} for egenværdirummet hørende til egenværdien 4, finder man en ortogonal basis bestående af vektorerne

        v₁ = [-1 , 1 , 0 , 0 , 0] , v₂ = [1/2 , 1/2 , 0 , 1 , 0] , v₃ = [-1/3, -1/3 , 0 , 1/3 , 1]

Til sammenligning har vi basen for egenværdirummet hørende til egenværdien 8 fra #10

        u₁ = [1 , 1 , 0 , -1 , 1] , u₂ = [0 , 0 , 1 , 0 , 0]

der som nævnt allerede er en ortogonal basis for dette underrum. Man efterviser let, at sættet

        {v₁ , v₂ , v₃ , u₁ , u₂}

er en ortogonal basis for hele vektorrummet R⁵ .