Opgave i differential regning

#0

Vis din egen fremgangsmåde og resultater her.

1.del

2.del

#3, #4

Din forskrift opfylder ikke, at f '(3) = 1.

Parabelen gennem B og C har forskriften

        f(x) = ax² + bx + c

Den skal gå gennem punktet B(3,3) og punktet C(6, ?) . I punktet B skal dens differentialkvotient være lig med hældningskoefficienten for linien gennem punkterne A(0,0) og B(3,3) , dvs. lig med 1. I punket C skal dens differentialkvotient være lig med tan(153,43º) . Vi har altså

        3 = a·3² + b·3 + c

        1 = 2a·3 + b

        tan(153,43º) = 2a·6 + b

dvs

        6a = tan(153,43º) - 1

eller

        a = (tan(153,43º) - 1) / 6 = -0,25002

        b = 1 - 6a = 2 - tan(153,43º) = 2,500108

        c = 3 - a·3² - b·3 = (3/2)·(tan(153,43º) - 1) = -2,25016

Heraf finder man toppunktets koordinatsæt

        x_T = -b/(2a) = 4,999856   og y_T = f(x_T) = 3,99928 .

Med den ret gode tilnærmede værdi  tan(153,43º) ≈ -1/2 har man de tilnærmede værdier

        a ≈ -1/4 ,  b ≈ 5/2 ,  c ≈ -9/4

og de tilnærmede værdier for toppunktets koordinater

        x_T = -b/(2a) ≈ 5   og    y_T ≈  -(1/4)·5² + (5/2)·5 - 9/4 = 25/4 - 9/4 = 16/4 = 4

CAS løsning. Man går ud fra at man har en funktion f(x) = ax²+bx+c, hvor man skal finde a,b og c. Når dette er gjort finder man maksimum for f(x). Man har

f'(x)=2ax+b

f(3)=3,

f'(3)=1 (tan(45º)) og

f'(6)=-0,5 (tan(153,43º)). Dette giver i CAS

Dvs. højden af diget er 4.