Fra komplekst udtryk til reelt

Generelt er det ikke et reelt tal

        y(t) = A·(cos(t) + i·sin(t))

men man kan ikke finde et "reelt" udtryk ?

#2

Hvad mener du med at finde et reelt udtryk for en kompleks størrelse?

Realdelen og imaginærdelen af et kompleks tal er reelle tal. Modulus og argument af et kompleks tal er også reelle tal. Men det komplekse tal selv er i almindelighed et kompleks tal.

Jeg har en opgave hvor jeg skal vise løsningen: y(t) = A*cos(t) + B*cos(t) på baggrund af en overføringsfunktion og en påvirkning u(t) = sin(t)

jeg ved der gælder at sin(t) = IM(e^it)

Og min overføringsfunktion er bestemt til: H(i) = -(b+a - a*b*i) / ((b+a)²+(a*b)²)

En løsning kan så bestemmes ved: H(i) * e^it

hvis jeg regner videre får jeg nemlig: H(i) * cos(t) + H(i)*sin(t)*i

mit problem er den komplekse del, som driller. jeg vil jo gerne have løsningen som skrevet tidligere:

y(t) = A*cos(t) + B*cos(t)

#4

Hvad mener du med overføringsfunktion og påvirkning?

Er a og b reelle? Måske kan de vælges, så de endelige konstanter bliver reelle?

med overføringsfunktion menes, at hvis man sætter u(t) = e^st,hvor s ikke er rod i karakterligningen, så har en inhomogen diff.ligning et stationær svar af formen: y(t) = H(s)*e^st

U(t) er en given påvirkning til en diff.ligning

Udover at vise at løsningen kan skrives på den føromtalte form, skal jeg også bestemme de reelle parameter A og B. Her tænker jeg at A og B må være min overføringsfunktion H(i)

a og b er også reelle

#6:  Det virker lidt rodet, hvad du har skrevet i ovenstående:

Du skriver i #4, at du skal vise løsningen  y(t) = A*cos(t) + B*cos(t), hvilket så er det samme som:

y(t) = (A + B)*cos(t)   =>    y(s) = (A + B )s / (s²+1).

Det giver mere fornuft, at din løsning skal være:  y(t) = A*cos(t) + B*sin(t)   =>

y(s) = As / (s²+1) + B / (s²+1) = ( As + B) / ( s²+1).

Du skriver også i #4, at u(t) = sin(t), men i #6 sætter du så u(t) = e^st ?  Er du i tidsdomænet eller Laplacedomænet ?

Jeg har aldrig forstået matematikeres tilgang til disse Laplace-transformerede, med ved udmærket hvad en påvirkning og en overføringsfunktion er i reguleringsmæssig sammenhæng, og hvad man "gør med dem".

Kan du ikke vedhæfte opgaven ?

#7

Jo du har ret, der skulle selvfølgelig står:  y(t) = A*cos(t) + B*sin(t) det beklager jeg.

Jeg har vedhæftet opgaven. Det er kap. 1.2 opgave 3. Jeg har vist første del af løsningen, altså for den homogene løsning., mangler nu sidste del.

Jeg har kun hørt om Laplacedomænet, men aldrig arbejdet med det, om jeg er i tidsdomænet, ved jeg heller ikke. 

at jeg  i #4 sætter u(t) = e^st var bare for at forklare hvordan overføringsfunktionen blev brugt helt generelt på en påvirking. I mit tilfælde er min påvirkning u(t)=sin(t), som jeg omskriver til u(t)=IM(e^it) og kan så bruge at løsningen kan skrives som: y(t)= | H(ωi) | * sin(ωt+Arg(H(i) Når jeg regner videre her, får jeg kun et udtryk med sin(t). ω er her i mit tilfælde ω=1

Jeg vedhæfter endvidere følgende sætning som jeg bruger:

Du skal finde løsningen til din differentialligning med højre side e^st. Løsningen bliver så en funktion H(s)*e^st. Løsningen vil være en reel funktion hvis s er reel. Hvis s ikke er reel får du  en kompleks løsning. Den er ikke og skal ikke være reel.

Den skal du så bruge til at finde løsningen når højre side er sin(t) hvilket svarer til at du skal sætte s= i i den fundne funktion.  Sætter du s= i bliver højre side af den differentialligning, som du løste, cos(t)+isin(t) og du får  løsningen H(i)e^it = H(i)(cos(t)+i*sin(t) ) Denne løsning er en kompleks løsning. Den er ikke og skal ikke være reel.

Sammenligner du med højre side kan du se at imaginærdelen af din fundne løsningen en løsning når den højre side er dit u(t). Det er det der står i din fil i #9.

Du skal altså dele din løsning H(i)*e^it op i den reelle del og den imaginære del. Den imaginære del er så den søgte løsning

#8:  Jeg forstår din forvirring, for opgaven er det værste rod, jeg har set, fx:

-  Motorstrømmen benævnes I(T) eller j(t). Motorspændingen benævnes U(T) eller u(t). "Normalt" ville man
   benævne en tidsvariabel ved "t" og en tidskonstant/tidsforsinkelse ved "T", for nu at kunne adskille dem.
   u(t) = e^st er det rene vrøvl. Der skal stå: u(s) = e^-sT, ( Laplacedomænet ).  Det er en tidsforsinkelse
   på  T sek. Specielt indenfor elmotorregulering, har man jo mange strømme, der typisk benævnes
   ved "I" eller "i". For nu ikke at skabe forvirring vælger man at anvende "j" i imaginærdelen af komplekse
   tal, altså skrevet ved fx:  "a + jb". Man kan så benytte alle de "i-er" man vil til angivelse af strømme.

I praksis laver man en model af dc-motoren direkte ved den Laplacetransformerede. Husk, at når man dividerer med s, integrerer man, og når man ganger med s, diffentierer man:

1)  Tegn en "boks" hvori der står "u(s)".  Det er påvirkningen. En streg herfra videre til

2)  Summationsboks, der subtraherer modelektromotorisk kraft fra påvirkningen. Herved får du en spænding, der driver strømmen gennem viklingerne. Streg herfra videre til

3)  Gang med  1 / ( R + sL ). Nævneren er viklingernes impedans. Du bruger Ohms lov:  I = U / impedans. Videre til

4)  Gang med motorkonstanten K_m , der har enheden  Nm/A  ( eller V/s, se 6) ). Du har nu motormomentet. Videre

5)  Gang med 1/ (sJ), hvor J er motorens inertimoment. Hvis du ganger med 1/J finder du motorens vinkelaccelereration, dω/dt. Når du ganger med 1/sJ, integrerer du og finder ω.  Videre

6)  Du starter nu en tilbagekobling, for at finde den modelektromotoriske kraft:  Gang med K_m , der her har enheden V/s ( se 4).  ω*K_m = modelektromotorisk kraft. Tegn tilbage herfra til  2).

Gang nu boksene sammen med anvendelse af Masons formel, og du finder motorens overføringsfunktion:

ω(s)/u(s) = K_m / ( L*J*s² + J*R*s + K_m² ), der kan skrives på formen

H(s) = A / ( s² + 2ζω_ns + ω_n²).  ζ er dæmpningsfaktor, ω_n er systemets egensvingningsfrekvens. A er en konstant.

Motorens karakterligning hedder altså:  s² + 2ζω_ns + ω_n² = 0

Man kan til det ovenstående adderere det ekstra inertimoment til J, forårsaget af lasten.

H(s)/s = θ(s)/u(s)     (positionsoverføringsfunktion)

Ved regulering af motoren monterer man fx en tachogenerator på motorakslen, og tilbagefører signalet herfra til en regulator placeret mellem 1) og 2). Regulatoren kan designes med et antal poler/nulpunkter og en forstærkning. Man har så et computerprogram, der kan tegne rodkurver i Laplaceplanen, hvorudfra det regulerede system vurderes/dokumenteres. Rodkurver kan tegnes for variende forstærning, varierende last, osv.  Fx om ζ ≥ 1, ( asymptotisk stabilitet ) ses umiddelbart af rodkurverne.

Jeg ved godt, at ovenstående er "far out", men det er skrevet for at vise, hvordan man gør i praksis reguleringsteknisk set, og for at forklare hvad jeg mener med:

Jeg har aldrig forstået matematikeres tilgang til disse Laplace-transformerede.

#11

Du har helt misforstået opgaven formentlig fordi du blander din erfaringer fra elektronik ind i billedet. Den robot det er hæftet op på er kun med for at gøre det mere virkelighedsnært. Det har således ikke noget at gøre med Laplacetransformationer. I matematik bruger man i som den komplekse kvrod(-1). Det må du lære at leve med.

Problemet drejer sig om lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Der vil man gerne gerne have en generel løsningsformel, når højre side er af formen e^st. Denne generelle løsning bliver af formen H(s)*e^st. Hvis s er et kompleks tal bliver løsningen så også kompleks. Når du har fundet denne løsning kan du nu blot indsætte det relevante s, for at finde løsningerne i de specielle tilfælde. Man regner med at højre side skal være noget i retning af linearkombinationer af sin(ωt) og cos(ωt) evt. ganget med et eksponentielt led. Derfor skal man skille det i en realdel og en imaginærdelen.

#12:   Rolig nu.

I #8 er vedhæftet et "miniprojekt", dateret 19/2-15  ( af nyere dato ). Jeg har fået den opfattelse, at trådstarter er i gang med dette projekt, og er nu nået til afsnit 1.2-3 i projektet. ( Fortsættelse følger. ). Grundet netop det "virkelighedsnære" i projektet, tillader jeg mig at forklare, hvordan tilgangen til en sådan opgave er i praksis. Mit indlæg ved #11 er ikke ment som en korrektion, men som en forklaring af en alternativ løsningsmetode for projektet som helhed.

Forklaringen i #11 har såmænd ikke så meget med elektronik atgøre, men med (analog) reguleringsteknik.

Om jeg helt har misforstået opgaven, synes jeg du kan lade trådstarter svare på: Han ved bedst.

For god ordens skyld:  Undskyld Peter,  undskyld ! !

PS:  Hvis det ikke har med Laplace at gøre, hvorfor står der så i 1.2-2:

2) Bestem overføringsfunktionen H(s) for (3) med u(t) = e^st.

Hvad betyder det ?

Ad Laplace:

Du lader dig villede af at e^st også indgår i Laplacetransformationer.

Hvis du kalder venstre side af differentialligningen D(y) skal man løse ligningen af formen D(y) = u(t)

Man vælger så i stedet at løse ligningen D(y) = e^st. Løsningen bliver H(s)e^st

Hvis du skal løse ligningen med u(t) = sin(t) kan du så finde den som imaginærdelen af H(i)e^it Hvis du også skal finde den for cos(t) skal du bare finde realdelen af H(i)e^it. Hvis du skal løse ligningen med u(t) = 3*sin(17t) kan du finde løsningen som imaginærdelen af 3*H(17i)*e^17it

Kort sagt du får en nemmere måde at løse ligningerne på med forskellige højre side; men der er ingen Laplacetransformation indblandet.

En Laplastransformation af en funktion f(t) er  ∫₀^∞ f(t)e^-st dt Ved brug af nogle regneregler for disse transformationer kan man omdanne en differentialligninger til en funktional ligning med s. Disse er normalt lette at løse. Derefter kan man så transformere tilbage.

#14: Hvad menes der med overføringsfunktionen:  H(s) ? ?  Altså ikke H(t).

Jeg ved godt, at det blot er to forskellige bogstaver, men selv Schaums Mathematical Handbook anvender bogstavet "s" for at indikere et udtryk i Laplacedomænet.

Eksempel:  L( sin(at)/a) = 1 / (s² + a²).  Bemærk variabelskiftet !

Generelt:  L( H(t) ) = H(s).

Du skriver i #12:  Det har således ikke noget at gøre med Laplacetransformationer.

Du har helt ret i det du skriver om Laplacetransformationer, men s bruges altså også i andre sammenhænge.

#16: Tja, som fx som afstand i  s = v * t.

Men du svarer ikke:  Skal overføringsfunktionen H(s) udtrykkes i tidsdomænet eller i Laplacedomænet ?

Hvad tror du der menes i spørgsmål 1.2-2  i miniprojektet ?

H(s) er ikke hverken i tids eller Laplacedomænet. Det har som jeg tidligere skrevet ikke noget med Laplacetransformationer at gøre.

Der menes at du skal løse differentialligningen 3 i spørgsmål 1.2-1 med u(t) = e^st.

#18:  Man skal bestemme H(s), skriver:  Bestem H som funktion af s.

Du må da tage stilling til ,hvad denne variabel, s, er for en størrelse. Du skriver, at den hverken indgår som variabel i tids- eller Laplacedomænet, men i hvilket domæne indgår den så ?

Spørgsmålet er jo vigtigt derved, at næste punkt i miniprojektet hedder:

3) Med u(t) = sin(t) og brug af overføringsfunktionen udregnet i spørgsmål 2 . . . .

I hvilket domæne skal denne overføringsfunktion være udtrykt ?

Jeg mener:  Overføringsfunktionen er vel næppe bare en konstant  ( H(s) = 45 ).

Jeg vil mene at:

H(s) = ω(s)/u(s) = K_m / ( L*J*s² + J*R*s + K_m² )    ( se #11 )

ligesom man kan skrive

f(x) = x² + 2x - 4

Det synes jeg giver god mening.

Jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal få dig væk fra den tanke, at det har noget med laplacetransformationen at gøre.

Hvis du skal bruge Laplacetransformationen til løsningen af differentialligningen skal du starte med at finde den Laplacetransformerede af højre side. Her render du end i en vanskelighed fordi højre side allerede indholder s. Det giver en flertydighed. 

Jeg kalder den Laplacetransformerede af højre side for f(s). Den Laplacetransformerede  af y kalder jeg g(s)

Der findes en sammenhæng mellem den Laplacetransformerede af en funktion og den laplacetransformerede af dens afledede funktion. Den kan du slå op i din bog.

Sætter du det ind i differentialligningen får du en funktionalligning i g(s), som du løser. Løsningen til differentialligningen er så den inverse Laplacetransformation til denne løsning.

I denne her opgave er højre side e^st og løsningen er af formen y = H(s)*e^st Det giver y' = s*y, y''=s²*y, y''' = s³*y   sætter du det ind i ligningen (3) får du

s³*y+s²(α+β)y + s(1+α*β)y = e^st  Med y = H(s)*e^st indsat på venstre side får du så en ligning  i H som  funktion af s. Den kan du så løse og du har så den endelige løsning til differentialligningen. Du skal ikke foretage nogen invers Laplacetransformation.

Skulle du ikke lige sove på det.