Fysik

cirkelbevægelse

08. marts 2015 af karlosi (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej alle, jeg har svært ved følgende spørgsmål.

Hvorfor er en cirkelbevægelse en accelereret bevægelse?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. marts 2015 af mathon

Hastighedsvektoren $\overrightarrow{v}(t)$ skifter hele tiden retning. Derfor kan accelerationsvektoren $\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}$ ikke være konstant.

Cirkelbevægelse er altså en accelereret bevægelse.

Dette gælder også en jævn cirkelbevægelse, der har konstant fart men variabel hastighedsvektorretning.

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. juni 2015 af mathon

uddybende
med koordinatsystemet anbragt i cirklens centrum:

$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\varphi (t))\\ r\cdot \sin(\varphi (t)) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ r\cdot \cos(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d^2} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -r\cdot \cos(\varphi (t))\cdot \left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2-r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d^2}\varphi }{\mathrm{d} t^2}\\ -r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2+r\cdot \cos(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d^2}\varphi }{\mathrm{d} t^2} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a}=-\left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2\cdot \overrightarrow{r}+\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2}\cdot\widehat{ \overrightarrow{r}}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. juli 2015 af mathon

$\left | \overrightarrow{a} \right |=r\cdot \sqrt{\left ( \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^4+\left (\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2} \right )^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. juli 2015 af mathon

som specifikt for den jævne cirkelbevægelse
med konstant vinkelhastighed

$\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\omega$
ved differentiation giver

$\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2}=0$

ved integration giver

$\varphi =\omega t+\varphi _0$

hvoraf:

$\overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\omega (t)+\varphi _0)\\ r\cdot \sin(\omega (t)+\varphi _0) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\omega (t)+\varphi_0)\cdot \omega \\ r\cdot \cos(\omega (t)+\varphi_0)\cdot \omega \end{pmatrix}=\omega \cdot \widehat{\overrightarrow{r}}(t)$

$\overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d^2} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -r\cdot \cos(\omega(t)+\varphi_0)\cdot \omega ^2\\ -r\cdot \sin(\omega (t)+\varphi_0)\cdot\omega ^2 \end{pmatrix}=-\omega ^2\cdot \overrightarrow{r}(t)$

$\left | \overrightarrow{a} \right |=\omega ^2\cdot r=\frac{v^2}{r}$

selv når $\left | \overrightarrow{a} \right |$ er konstant, varierer $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F_{res}}}{m}$ , da $\overrightarrow{F_{res}}(t)$ varierer.

Accelerationen medgår udelukkende til legemets konstante retningskift.

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. juli 2015 af mathon

Skriv et svar til: cirkelbevægelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.