Asymptoter og grænseværdier

Opg 1.

Når man skal finde grænseværdien af en funktion af formen f(x) = p(x) / q(x) for x → ∞ , ser man på graden af de to polynomier. Hvis p(x) og q(x) har samme grad n, dividerer man tæller og nævner med xⁿ og benytter, at led af formen x^-m går mod 0 for x → ∞ . Hvis tælleren har større grad end nævneren, vil f(x) gå mod ∞.

Når man undersøger grænseværdi af en funktion f(x) for x → x₀ , vil grænseværdien være f(x₀) , hvis funktionen er kontinuert i x₀ . Hvis funktionen har en singularitet i x₀, undersøger man om man kan fjerne singulariteten ved at faktorisere og forkorte.

Opgave 1 a-c): når tæller og nævner går mod uendelig, kan man se bort fra led af lavere grad end den højeste. 

For 1 a) fås:

1 d-e): grænseværdien er værdien af f(x), når værdien for x indsættes.

1 f): når nævner går mod uendelig uden, at tæller gør det for den pågældende værdi af x, vil udtrykkets værdi gå mod uendelig. 

#3

Der er tre typer asymptoter: vandrette, lodrette og skrå. 

2a) For x gående mod ± ∞ vil f(x) gå mod 1. For x gående mod 1 vil nævneren gå mod nul og hele brøken mod uendelig, dvs f(x) har lodret asymptote for x gående mod 1. 

2b) Vandret asymptote y=0 for x gående mod uendelig. For x gående mod ± 1 går nævner mod nul og funktionen er dermed ikke defineret for disse værdier af x. For x ≠ -1 kan man dividere med x+1 i tæller og nævner og får f(x)=1/(x-1). For x gående mod -1 går f(x) mod -0,5, som er en grænseværdi for funktionen, men ikke en funktionsværdi. For x gående mod 1 går 1/(x-1) mod uendelig og f(x) har lodret asymptote. 

2c) Ved at foretage polynomiernes division kan brøken omskrives til f(x) =x-1-4/(x-1), hvor sidste led går mod nul for x gående mod uendelig. Dette viser, at f(x) har en skrå asymptote: y=x-1 for x gående mod uendelig.

#4 CAS.

d) Den er kontinuert, idet den er en kvotient af to funktioner, der begge er kontinuerte i x=3.