Omdrejning

a) er parameterfremstillingen for f så r(u) =  (u^3 , u^2 + 1 , 6) ?

b) Skal jeg anvende tilhørende jacobifunktion`?

c) Hvordan skal jeg finde omdrejningslegemet, når jeg ikke har funktionen, men kun dens parameterfremstilling? 

#1

a) Man skal dreje kurven

        r(u) = (x , z) = (u³ , u² + 1) , (1/2) ≤ u ≤ 1

omkring z-aksen fra drejningsvinkel 0 til 6 i (x,y)-planen. Fladen F har da parameterfremstillingen

        r(u,v) = (x , y , z) = (u³·cos(v) , u³·sin(v) , u²+1) , (1/2) ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 6 .

#2:
Så skal jeg bruge denne parameterfremstillig i c), ikke? Er der en bestemt Formel jeg skal bruge til en omdrejningslegeme omkring z-aksen eller skal jeg selv komme frem til en?
Jeg vil desuden gerne vide, hvordan du er så god til at lave parameterfremstilling, er det øvelse eller kan man også gå ud fra nogle bestemte formler især for en nybegynder som mig.
Har du nogle rigtige gode tips, til hvordan jeg griber parameterfremstillingen an?

#3

Man benytter, hvad man har lært om rotationer i planen.

Man kan benytte parameterfremstillingen i a), eller man kan udtrykke z som funkion af x og så benytte det sædvanlige integral for rumfang af et omdrejningslegeme for drejning omkring 2.-aksen, idet man kun frembringer 6/(2π) af hele omdrejningslegemet. Dvs.

        V(Ω) = (6/(2π)) · [ π·(1² - (1/8)²)·(2 - 5/4) -  2π · _1/8∫¹ (x2/3 + 1) · x dx ]