Matematik

Minimering af afstand

31. marts 2015 af rasm105b (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg sidder med en opgave, hvor jeg skal gøre en afstand mindst mulig ved hjælp af differentiering.
Jeg er klar over hvilken fremgangsmetode jeg skal bruge, men kan ikke få det til at gå op. 
Opgaven lyder på at gøre AR+BR mindst mulig. 
AD = 4,5 km
BC = 7 km
DC = 15 km

Jeg har forsøgt mig frem med phytagoras, for at få en formel jeg kan differentiere, men kan ikke finde den rigtige.
Nogen, der kan hjælpe? 

 


Brugbart svar (1)

Svar #1
31. marts 2015 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Hvis du kalder afstanden mellem D og R for x, bliver stykket AR+BR

√( (AD)2 + x2 ) + √( (BC)2 + (DC - x)2 )


Svar #2
31. marts 2015 af rasm105b (Slettet)

#1 

Lige hvad jeg manglede for at komme igang! Tak :-)


Brugbart svar (1)

Svar #3
31. marts 2015 af hstreg (Slettet)

Hved phytagoras sætning/formel for en retvinklet trekant, finder du

\vert AR\vert = \sqrt{\vert AD\vert^2+\vert DR\vert^{2}}

\vert BR\vert = \sqrt{\vert CB\vert^2+\vert CR\vert^{2}}

Hvorfor

\vert AR\vert+\vert BR\vert = \sqrt{\vert AD\vert^2+\vert DR\vert^{2}} + \sqrt{\vert CB\vert^2+\vert CR\vert^{2}}

Brug nu at du kan udtrykke CR ved DR og DC, som :   \vert CR\vert = \vert DC\vert - \vert DR\vert, hvorfor

\hspace{-3cm}\vert AR\vert+\vert BR\vert = \sqrt{\vert AD\vert^2+\vert DR\vert^{2}} + \sqrt{\vert CB\vert^2+(\vert DC\vert - \vert DR\vert)^{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{4}+\vert DR\vert^{2}} + \sqrt{\vert DR\vert^{2} - 30\cdot\vert DR\vert +274}

Kald nu DR = x og f(x) = AR+BR, hvorfor

f(x)= \sqrt{x^2 + \frac{81}{4}} + \sqrt{x^2 - 30x +274}

Find nu minimums værdien for funktion f, denne værdi minimere AR+BR


Brugbart svar (0)

Svar #4
01. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Den vedlagte tegning i #0

Screen Shot 2015-03-31 at 13.44.11.png


Brugbart svar (0)

Svar #5
01. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Opgaven kan løses ved at benytte Fermats princip for lysudbredelse. Betragter vi CD som et spejl, vil en lysstråle fra A komme til punktet B efter refleksion i spejlet CD netop ved at følge den korteste vej fra A til B via spejlet CD. For den korteste vej |AR| + |RB| vil de to hypotenuser repræsentere en lysstråle, der reflekteres i spejlfladen CD. For den korteste vej vil disse hypotenuser derfor tilfredsstille reflektionsloven: den indfaldende vinkel og den reflekterede vinkel ved R vil være lige store. Dette medfører, at for den korteste vej |AR| + |RB| vil trekanterne DAR og CBR være ensvinklede (og retvinklede), og vi har

        tan(vDAR) = tan(vCBR).

Kalder vi |DR| = x, og dermed |CR| = |DC| - |DR| = 15 - x , har vi da

        x / |DA| = (15 - x) / |BC|

eller

        x / (9/2) = (15 - x) / 7

eller

        7x = 15·(9/2) - (9/2)x

eller

        (7 + (9/2))x = 135/2

        (23/2)x = 135/2

        x = 135/23


Skriv et svar til: Minimering af afstand

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.