Matematik
Minimering af afstand
Jeg sidder med en opgave, hvor jeg skal gøre en afstand mindst mulig ved hjælp af differentiering.
Jeg er klar over hvilken fremgangsmetode jeg skal bruge, men kan ikke få det til at gå op.
Opgaven lyder på at gøre AR+BR mindst mulig.
AD = 4,5 km
BC = 7 km
DC = 15 km
Jeg har forsøgt mig frem med phytagoras, for at få en formel jeg kan differentiere, men kan ikke finde den rigtige.
Nogen, der kan hjælpe?
Svar #1
31. marts 2015 af GalVidenskabsmand (Slettet)
Hvis du kalder afstanden mellem D og R for x, bliver stykket AR+BR
√( (AD)2 + x2 ) + √( (BC)2 + (DC - x)2 )
Svar #3
31. marts 2015 af hstreg (Slettet)
Hved phytagoras sætning/formel for en retvinklet trekant, finder du
Hvorfor
Brug nu at du kan udtrykke CR ved DR og DC, som : , hvorfor
Kald nu DR = x og f(x) = AR+BR, hvorfor
Find nu minimums værdien for funktion f, denne værdi minimere AR+BR
Svar #5
01. april 2015 af Andersen11 (Slettet)
Opgaven kan løses ved at benytte Fermats princip for lysudbredelse. Betragter vi CD som et spejl, vil en lysstråle fra A komme til punktet B efter refleksion i spejlet CD netop ved at følge den korteste vej fra A til B via spejlet CD. For den korteste vej |AR| + |RB| vil de to hypotenuser repræsentere en lysstråle, der reflekteres i spejlfladen CD. For den korteste vej vil disse hypotenuser derfor tilfredsstille reflektionsloven: den indfaldende vinkel og den reflekterede vinkel ved R vil være lige store. Dette medfører, at for den korteste vej |AR| + |RB| vil trekanterne DAR og CBR være ensvinklede (og retvinklede), og vi har
tan(vDAR) = tan(vCBR).
Kalder vi |DR| = x, og dermed |CR| = |DC| - |DR| = 15 - x , har vi da
x / |DA| = (15 - x) / |BC|
eller
x / (9/2) = (15 - x) / 7
eller
7x = 15·(9/2) - (9/2)x
eller
(7 + (9/2))x = 135/2
(23/2)x = 135/2
x = 135/23
Skriv et svar til: Minimering af afstand
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.