Hvordan differentierer jeg følgende funktion vha. tretrinsreglen?

I 3-trinsreglen opstiller man differenskvotienten

        (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

og undersøger, om grænseværdien eksisterer for h gående mod 0.

1. Find Δy = f(x + Δx) - f(x)

2. Find Δy/Δx = [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

3. Find dy/dx = Lim_Δx→0 ( [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx )

Beregn f(x+h)= 3(x+h)²-9(x+h) +2

fratræk f(x)

Divider resultatet med h

lad h gå mod 0

Tusind tak for svar allesammen, men jeg har brug for at se selve løsningsprocessen..

Jeg har prøvet at skrive lidt ned.. (Emnet er helt nyt for mig, og det er selvstudium!)

Da

er f'(x)=6x-9 (som forventet!).

#4

Du hæver ikke minusparentesen korrekt i udregningen af f(x0+h)

Man udregner f(x₀) ved at indsætte x₀ i forskriften for f(x):

        f(x₀) = 3x₀² - 9x₀ + 2

så

        f(x₀+h) - f(x₀) = 3·(x₀+h)² - 9·(x₀+h) + 2 - (3x₀² - 9x₀ + 2)

                              = 3·((x₀+h)² - x₀²) - 9·(x₀+h - x₀) + 2 - 2

                              = 3·(x₀+h + x₀)·(x₀+h - x₀) - 9h

                              = 3·(2x₀ + h)·h - 9h

Beregn nu differenskvotienten og foretag så grænseovergangen h → 0 .

#5

Da

er f'(x)=6x-9 (som forventet!).

Hvordan kommer du helt konkret fra

til

?

Jeg er virkelig dårlig til det, og kunne godt bruge et overblik over, hvordan du gør, så de næste opgaver bliver lettere for mig.. 

#7

Man benytter den kendte kvadratsætning

        (a + b)² = a² + 2ab + b²

og trækker leddene sammen.

        3(x + Δx)² - 9(x + Δx) + 2 - (3x² - 9x +2) = 3x² + 3(Δx)² + 3·2·x·Δx - 9x - 9Δx + 2 - 3x² + 9x - 2

                                                                        = 3(Δx)² + 6x·Δx - 9Δx

1. Find Δy = f(x + Δx) - f(x)

2. Find Δy/Δx = [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx

3. Find dy/dx = LimΔx→0 ( [ f(x + Δx) - f(x) ] / Δx )

----

1.
Δy = 3(x + Δx)² - 9(x + Δx) + 2 - (3x² - 9x + 2)
= 3(x² + Δx² + 2x·Δx) - 9(x + Δx) + 2 - (3x² - 9x + 2)     (kvadratet udregnes...)
= 3x² + 3·Δx² + 6x·Δx - 9x - 9·Δx + 2 - 3x² + 9x - 2     (Ganger ind i parentesen)
= 3x² + 3·Δx² + 6x·Δx - 9x - 9·Δx + 2 - 3x² + 9x - 2
= 3·Δx² + 6x·Δx - 9x - 9·Δx + 2 + 9x - 2
= 3·Δx² + 6x·Δx  - 9·Δx + 2 - 2
= 3·Δx² + 6x·Δx  - 9·Δx                                                           (Reducere)

2.
Δy/Δx = 3·Δx² + 6x·Δx  - 9·Δx / Δx
= 3·Δx + 6x - 9

3.
Lim_Δx→0 ( 3·Δx + 6x - 9 ) = 3·0 + 6x - 9 = 6x - 9

HUSK PÅ! Δx er et tegn! Der er intet gange tegn mellem Δ og x... Man kunne ligeså godt have skrevet h i stedet for Δx.... Man anvender jo "delta" tegnet som et symbol for en ændring. Og i dette tilfælde er det en lille ændring i x værdierne, som vi betegner med Δx tegnet..

Tusind tak for hjælpen!

I fremgangsmåden i #6 benyttes x₀ og h i stedet for x og Δx , som nogle fremstillinger benytter.

I #6 benytter man kvadratsætningen

        a² - b² = (a+b)·(a-b)

i stedet for kvadratsætningen i #8, hvilket måske forenkler udregningen.