Matematik

Løsning af bestemt integrale

01. april 2015 af Tila91 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har nedenstående bestemte integrale og jeg får altså et forkert resultat, da jeg har sammenlignet med et facit vi har fået udleveret, kan I mon hjælpe mig med at finde fejlen?

$\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}dx$

Så jeg starter med at finde t = x^2 +1

$\frac{dt}{dx}=2x$ $dx=\frac{1}{2x}\cdot dt$

x=0^2+1=1 og x=1^2+1=2

Så begynder jeg at udregne:

$\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}dx=\int_{1}^{2}\frac{2x}{t}\cdot \frac{1}{2x}dt=\int_{1}^{2}tdt$

altså jeg indsætter grænserne og de to 2x går ud med hinanden, men så var det meningen, at jeg skulle integrere videre, men kan se i facit, at det ikke går op, da facit bliver til $\int_{1}^{2}\frac{2x}{x^2+1}dx=ln(2)$

Hvad gør jeg forkert. Jeg kan regne ud at jeg skal have med en brøk at gøre i led 3 før at det kan blive til noget med ln, men kan ikke lige se, hvordan?

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. april 2015 af Therk

Hvis du nåede at læse mit tidligere svar, så glem det.

Til dit spørgsmål: Din reducering er forkert!

$\frac{2x}{t} \cdot \frac{1}{2x} = \frac 1t \color{red}\neq t$

Svar #2
01. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Hvorfor skal nævneren være i -1. potens?

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. april 2015 af Therk

Læs det reviderede svar.

Jeg brugte dog

$(x^2+1)^{-1} = \frac{1}{x^2+1}$

Svar #4
01. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Ah okay. Så det sgu da derfor. Så når de to 2x går ud med hinanden, så går t bare ind under 1 og forbliver i en brøk eller hvordan er reglen for dem?

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. april 2015 af Therk

"Tæller med tæller og nævner med nævner" :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. april 2015 af Therk

Du kan nok lettere se det, hvis du slavisk laver reduceringen:

$\frac {1}{2x} \cdot \frac{2x}{t} = \frac{1\cdot 2x}{t \cdot 2x} = \frac 1t \cdot \underbrace{\frac{2x}{2x}}_{=1}$

Svar #7
01. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Jep. Jeg skal simpelthen lære min regneregler. ;)
men 1000 tak!

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. april 2015 af Therk

Fortsat god dag! :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

I en substitution skal man lade være med at blande de variable.

Med substitutionen t = x² + 1 har man så dt = 2x dx, der substitueres for hele tælleren . Ved substitutionen skal man også huske at substituere de nye værdier for grænserne. Her går x fra 0 til 1, så t går fra 1 til 2, og man har da

$\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}\, \textup{d}x=\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\, \textup{d}t=\left [ \ln t \right ]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$

Skriv et svar til: Løsning af bestemt integrale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.