Matematik

g(x)=ln(x) g'(x)=1/x

01. april 2015 af jeghedderjuliec (Slettet) - Niveau: B-niveau

Kan nogen forklare mig - meget simplificeret! - hvorfor det hænger sådan sammen?


Brugbart svar (0)

Svar #1
01. april 2015 af hstreg (Slettet)

Ja, kender du denne sætning/formel for den afledte af den inverse funktion (Hvis ikke, kan jeg skitsere et lille bevis for dig.. Det er ikke svært at vise) ?

                         \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x) = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)}

hvor f-1(x) er den inverse funktion til f(x).


Brugbart svar (1)

Svar #2
01. april 2015 af hstreg (Slettet)

Hov, ignorere #1.. Vi kan vise det uden at bruge overstående formel.

Lad g(x) = ln(x), Hvorfor

e^{g(x)} = e^{\ln(x)} = x      (†)

idet den naturlige logaritme funktion og den naturlige eksponentialfunktion er hinandends inverse afbildninger. 

Vi ønsker nu at differentiere udtrykket i (†).
Lad os starte med at finde den afledte af venstre siden, ved brug nu reglen for differentation af en sammensat funktion. Altså "den indre differentieret gange den ydre differentieret." Hvorfor venstre siden ved diferentation bliver

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{g(x)}) = e^{g(x)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g(x)) = x\cdot g^{\prime}(x)

Den afledte af højre siden, finder vi ved at den afledete af x med hensyn til  som bekendt er 1. Hvorfor højre siden efter differentation lyder

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x) = 1

Sætte du nu venstre siden lig med højre siden finder du

x\cdot g^{\prime}(x) = 1 \hspace{9pt}\Rightarrow\hspace{9pt} g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}


Svar #3
01. april 2015 af jeghedderjuliec (Slettet)

Fantastisk. Tusind tak hstreg! :)


Skriv et svar til: g(x)=ln(x) g'(x)=1/x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.