Fysik

Rotation / inertimoment

14. april 2015 af Kim777 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Vi har to kugler af jern, den ene er massiv, mens den anden er hul indeni. Hvis man triller kuglerne ned af et skråplan har den ene kugle accelerationen 0,3592 m/s² og opnår maksimal hastighed på 0,738 m/s, mens den anden opnår maksimal hastighed på 0,824 m/s og har en acceleration på 0,437 m/s². Hvordan ville I så argumentere for, hvilken kugle der opnår højest hastighed og højest acceleration? Med andre ord, er det så den massive eller den hule kugle der opnår accelerationen på 0,437 m/s²?

Dbh

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. april 2015 af peter lind

Jeg vil bruge energibevarelse

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. april 2015 af hesch (Slettet)

#0: Du skal se på definitionen af inertimoment:

$I = \int r^{2}\cdot dm$

Den udhulede kugle har det største inertimoment pr. masseenhed, eftersom disse 'dm-er' i princippet er placeret længere væk fra kuglens centrum.

Større inertimoment = langsommere acceleration/sluthastighed.

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. august 2015 af Soeffi

Det kommer an på om masse eller radius ens for de to kugler. For samme radius vil den massive kugle vinde.

Animation: Jo højere inertimoment, jo større acceleration og dermed sluthastighed for samme strækning.

Rød: hul kugle

Gul: massiv kugle

Grøn: ring

Blå: massiv cylinder.

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. august 2015 af Soeffi

#3 Rettelse: Kuglen med størst inertimoment vinder uanset radius og masse. Den massive kugle vinder dermed altid, hvis de to kugle tilbagelægger samme strækning.

Begrundelse: Forholdet mellem de to kuglers sluthastighed kan findes ud fra foldet mellem væksten i deres kinetiske energi. Denne er igen lig med forheldet i ændringen af deres potentielle energi.

I det følgende kaldes den hule kugle 1 og den massive 2.

$\frac{\Delta E_{pot,1}}{\Delta E_{pot,2}} =\frac{\Delta h_1\cdot m_1\cdot g}{\Delta h_2\cdot m_2\cdot g}=\frac{m_1}{m_2}$

da de mister samme højde på skråplanet, idet Δh₁=Δh₂. Man har følgende formler for den kinetiske energi for de to kugler, når de triller uden friktion og uden at glide:

$\Delta E_{kin,1} = \frac{1}{2}\cdot I_{1}\cdot \omega _{1}^{2}$

$\Delta E_{kin,2} = \frac{1}{2}\cdot I_{2}\cdot \omega _{2}^{2}$

Dvs...

$\frac{\Delta E_{kin,1}}{\Delta E_{kin,2}}= \frac{\frac{1}{2}\cdot I_{1}\cdot \omega _{1}^{2}}{\frac{1}{2}\cdot I_{2}\cdot \omega _{2}^{2}}=\frac{I_{1}\cdot \omega _{1}^{2}}{I_{2}\cdot \omega _{2}^{2}}$

I er inertimomentet for den enkelte kugle og ω er dens vinkelhastighed. Dette giver, da ΔE_pot = ΔE_kin for hver af kuglerne:

$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{I_{1}\cdot \omega _{1}^{2}}{I_{2}\cdot \omega _{2}^{2}}$

Man har inertimomenterne for de to kugler:

$I_{1}=\frac{2}{3}\cdot m_{1}\cdot r_{1}\cdot \omega _{1}^{2}$

$I_{2}=\frac{2}{5}\cdot m_{2}\cdot r_{2}\cdot \omega _{2}^{2}$

Desuden har man for begge kugler, at:

$v=2\pi \cdot \omega \Rightarrow \omega=\frac{v}{2\pi}$

Dette giver tilsammen:

$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\frac{2}{3}\cdot m_1\cdot r_1^2\cdot (\frac{v_1}{2\pi\cdot r_1})^{2}}{\frac{2}{5}\cdot m_2\cdot r_2^2\cdot (\frac{v_2}{2\pi\cdot r_2})^{2}}=\frac{5\cdot m_1\cdot v_1^{2}}{3\cdot m_2 \cdot v_2^{2}}\Rightarrow$

$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\Rightarrow v_1=v_2\cdot \sqrt{\frac{3}{5}}\approx 0,77\cdot v_2$

Dvs. den hule kugles slut-hastighed vil altid være mindre end den massives. Forholdet 0.77 mellem de to kuglers sluthastighed gælder i det ideelle tilfælde, hvor den hule kugle er "uendelig tynd". I praksis, som her, vil forholdet være tættere på 1.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. august 2015 af hesch (Slettet)

#3: Ad: Jo højere inertimoment, jo større acceleration og dermed sluthastighed for samme strækning.

Nu må der lige holdes på hat og briller: Som opgaven er stillet, går jeg ud fra at de to kugler har samme radius, og derfor forskellig masse. Jeg vil mene, at formuleringen bør være:

Jo højere inertimoment pr. masse, jo mindre acceleration og dermed sluthastighed for samme strækning.

Animationen ved jeg ikke rigtigt, for ingen kan jo på denne se hvor udhulet den røde kugle er. Hvis ikke den er ret udhulet, kan den givetvis slå den blå massive cylinder.

Jeg lavede for år tilbage en computer-reguleret kugle-balancerings-maskine ( motordrevet kileremshjul, hvor en kugle blev placeret i sporet ), og den var klart mere robust (udsat for slag, spark og pust) når en bortennisbold anvendtes i stedet for en massiv jernkugle (vistnok stammende fra et kugleleje, der kunne bære 9000T).

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. august 2015 af Soeffi

##0-4. Der menes formodentlig to kugler med samme masse og radius, der ruller friktionsløst uden at glide, hvilket er ren fiktion. Derfor vil ovenstående næppe kunne eftervises eksperimentelt.

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. august 2015 af hesch (Slettet)

#6: De kan jo umuligt have samme masse og radius.

De er begge lavet af jern, og den ene er udhulet.

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. august 2015 af Soeffi

#7
#6: De kan jo umuligt have samme masse og radius.

De er begge lavet af jern, og den ene er udhulet.

Så ved jeg ikke hvad de mener.

Skriv et svar til: Rotation / inertimoment

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.